... notwendig^1.1

$^)$in der galileilischen Physik oder Physik der punktförmigen Materie kommt es zu erheblischen Schwierigkeiten und daraus resultierende Paradoxie falls man ein beliebiges Bezugssystem wählt.

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... sind^1.2

$^)$L. D. Laundau, E. M. Lifschitz. Lehrbuch der theoretischen Physik, Band $I$ und Band $II$.

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...Newtons ^1.3

$^)$Arnold Sommerfeld; Band1 Mechanik (Seite 8).

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... Richtungen^2.1

$^)$Daraus läßt sich schließen, daß die Raumdimension mindestens gleich 4, folglich $X\in {\rm 1\hspace{-0.09cm}R}^4$ sein muß.

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... Bestätigung^4.1

$^)$ Das letztere erweist sich jedoch als überholt und schließlich als überflüßig.

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... Drehimpulsinvariante^4.2

$^)$ Als elementares Drehimpulsquant würde die Größe $$\frac {h}{2\pi}$$ bestimmt.

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... dualen^4.3

$^)$ Wir werden in der Energietheorie auf gleiche Erkenntnisse schließen.

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... ein^4.4

$^)$ Mit $\omega$ bezeichnen wir die Kreisfrequenz und mit $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ die Wellenzahl der Energietheorie. Die äquivalente Größen in der Impulstheorie Bezeichnen wir mit $\Omega \ und \ K \ .$

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... Vakuum^5.1

$^)$ Bekanntlich ist die Impendanz des Vakuums ein Maß für die endliche Ausbreiungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wechselwirkung.

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... Von-Klitzing^5.2

$^)$ Der Quanten - Hall - Effekt 1980 mit Von-Klitzing und Mitarbeiter Untersuchung der Hallspannung von Silicium MOSFET in hohen Magnetfeldern $( B \leq 18 T )$ und bei tiefer Temperatur $( t = 1.5K )$

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... Viererpotential^6.1

$^)$ Wir können diese Berechnung auch mit $A_{jk}$ Tensor durchführen. In diesem Fall hätten wir die untere Beziehung benutzt:

$(\partial_{kj}\ . \ \partial_{jk}) \ . \ (\partial_{kj}\ . \ (\partial_{jk}\ . \ A_{jk})) \ = \ \delta_j^k \ \partial_j^4 \ A_{jk} \quad$

Wie wir später sehen werden, liefern diese Gleichungen als Ergebnis die Erhatung des Viererpotentials der Impulstheorie

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... beigemessen^6.2

$^)$ Die skalare Felder weisen keine Richtung auf, die aber im Grunde von Null verschieden sind. Errechnet man diese Gleichung, so findet man

$$-\displaystyle\frac {\partial}{c \partial T}\phi^- \ - \ {\bf div... ...c {\mu_0}{e^+} \, (e^+\, c\dot{\phi}^- \ + \ c\vec{t} . e^+\, {\bf grad}\phi^-)$$

Der Auskruck der runden Klammer auf der rechten Seite ist Äquivalent der kinetischen Energie pro Zeiteinheit oder die Arbeit, das das Feld pro Zeiteinheit an dem Teilchen leistet.

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... Pseudovierertensors^6.3

$^)$ Die skalare Komponente eines Vierervektors haben wir stets größer null definiet. Zu jeder Matrix eines Vierertensors existiert eine transponierte Matrix, die man aus der Vektorspigelungen gewinnen kann. Wir erinnern uns, daß bei der Skalarspigelung das Vorzeichen des Skalars und nicht des Vektors sich ändert.

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... Tensors^6.4

$^)$ Vollständighalber geben wir die einzelne Matrixen des Vierervolumenelements an. Für zweidimensionale Viererflächentensor und die Auswahl der Z-Komponenten gilt :

$$dS_{jk} = {\left( \begin{array}{llcl}0 & dX & 0 & 0 \\ -dX & 0 &... ...\\ 0 & 0 & 0 & dY \\ -dY & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -dY & 0 & 0 \end{array} \right)}$$

Für dreidimensionale Vierervolument können wir scheiben :

$$dF_j^k = {\left( \begin{array}{llcl}0 & 0 & 0 & dF_Z \\ 0 & 0 & ... ...\\ 0 & 0 & -dZ & 0 \\ 0 & dZ & 0 & 0 \\ -dZ & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)}$$

und schließlich schreiben wir für das Vierervolumenelement :

$$d\Omega_k^j = {\left( \begin{array}{llcl}icdT & 0 & 0 & 0 \\ 0 &... ...\ 0 & -dV & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -dV & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -dV \end{array} \right)}$$

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... Viererpotential^7.1

$^)$ Wir können diese Berechnung auch mit $a^{jk}$ Tensor durchführen. In diesem Fall hätten wir die untere Beziehung benutzt:

$(\partial^{kj}\ . \ \partial^{jk}) \ . \ (\partial^{kj}\ . \ (\partial^{jk}\ . \ a^{jk})) \ = \ \delta_j^k \ {\partial^j}^4 \ a^{jk} \quad$
Wie wir später sehen werden, liefern diese Gleichungen als Ergebnis die Elemantarladung der Impuls und Energietheorie

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... beigemessen^7.2

$^)$ Analog zu der IT gilt die Feststellung: verschwindet die Viererdivergenz

$$\displaystyle\frac {\partial}{c \partial t}(\displaystyle\frac {\... ...aystyle\frac {\vec{v}}{c})\, . \, {\bf grad}(\displaystyle\frac {\varphi^+}{c})$$

so verschwinden mit ihr aller physikalischen Phänomene bei $\beta^{-1}=\beta=1$.

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... ist.^7.3

$^)$ Die skalare Komponente eines Vierervektors haben wir stets größer null definiet. Zu jeder Matrix eines Vierertensors existiert eine transponierte Matrix, die man aus der Vektorspigelungen gewinnen kann. Wir erinnern uns, daß bei der Skalarspigelung das Vorzeichen des Skalars und nicht des Vektors sich ändert.

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... Tensors^7.4

$^)$ Vollständighalber geben wir die einzelne Matrixen des Vierervolumenelements an. Für zweidimensionale Viererflächentensor und die Auswahl der z-Komponenten gilt :

$$ds^{jk} = {\left( \begin{array}{llcl}0 & idx & 0 & 0 \\ -idx & 0... ... 0 & 0 & 0 & idy \\ -idy & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -idy & 0 & 0 \end{array} \right)}$$

Für dreidimensionale Vierervolument können wir scheiben :

$$df^{jk} = {\left( \begin{array}{llcl}0 & 0 & 0 & -df_z \\ 0 & 0 ... ... 0 & 0 & -idz & 0 \\ 0 & idz & 0 & 0 \\ -idz & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)}$$

und schließlich schreiben wir für das Vierervolumenelement :

$$d\omega_j^k = {\left( \begin{array}{llcl}cdt & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ... ...\ 0 & idv & 0 & 0 \\ 0 & 0 & idv & 0 \\ 0 & 0 & 0 & idv \end{array} \right)}$$

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... Definition^9.1

$^)$ Smirnow Lehrgang der höheren Mathematik (Band III.2).

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... Definition^10.1

$^)$ Smirnow Lehrgang der höheren Mathematik (Band III.2).

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