Die Kugelfunktionen in der ET

Die kartesischen Koordinaten lassen sich durch Transformationen in Polarkoordinaten umwandeln. Die Darstellung eines Punktes bezüglich der zwei Systeme sind dann durch die folgenden Beziehungen miteinander verknüpft:

$$x \ = \ r\, sin(\vartheta)\, cos(\varphi)$$ (10.4)

$$y \ = \ r\, sin(\vartheta)\, sin(\varphi)$$ (10.5)

$$z \ = \ r\, cos(\vartheta)$$ (10.6)

$$r^2 \ = \ x^2\, + \, y^2\, + \, z^2$$ (10.7)

$$\varphi \ = \ arctan \, \left(\, \displaystyle\frac {\, y\, }{x}\, \right) \quad$$ (10.8)

$$\vartheta \ = \ arctan \, \left(\, \displaystyle\frac {\sqrt{\, x^2\, + y^2\, }}{z}\, \right) \quad$$ (10.9)

Jede infinitesimale Änderungen der Variabeln $(\, x, y, z\, )$ der kartesischen Koordinaten führt zu einer afinen Transfomation der Polarkoordinaten und damit zur Änderungen der Variabeln $(\, r, \vartheta, \varphi\, )$. Nun werden wir die Matrix dieser Transformationen an Hand der Gleichungen (10.4), (10.5), und (10.6) ableiten. Differenzieren wir diese Gleichungen, so stellen wir fest, daß folgende Differentialquotienten bei der Ableitungen der kartesischen Variabeln die Komponenten der gesuchte Transformationmatrix ergeben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}r^{1k} \ = \ \left( \ 0 \ , \ \ (\di... ...artial r}y)\ , \ (\displaystyle\frac {\partial}{\partial r}z)\, \right)\quad $}$$ (10.10)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\vartheta^{1k} \ = \ \left( \ 0 \ , ... ...rac {1}{r}\displaystyle\frac {\partial}{\partial \vartheta}z)\, \right)\quad $}$$ (10.11)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varphi^{1k} \ = \ \left( \ 0 \ , \ ... ...(\vartheta)}\displaystyle\frac {\partial}{\partial \varphi}z)\, \right)\quad $}$$ (10.12)

Nach Ausführung der Differentiation erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}r^{1k} \ = \ \left( \ 0 \ , \ \ (sin... ...))\ , \ (sin(\vartheta)\, sin(\varphi))\ , \ (cos(\vartheta))\, \right)\quad $}$$ (10.13)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\vartheta^{1k} \ = \ \left( \ 0 \ , ... ...)\ , \ (cos(\vartheta)\, sin(\varphi))\ , \ -(sin(\vartheta))\, \right)\quad $}$$ (10.14)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varphi^{1k} \ = \ \left( \ 0 \ , \ \ -(sin(\varphi))\ , \ (cos(\varphi))\ , \ (\, 0 \, ))\, \right)\quad $}$$ (10.15)

Die drei Transformationmatrix sind unter sich wie folgt verknüpft:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}r^{jk} \ . \ r^{kj} \ = \ \delta_j^k \quad $}$$ (10.16)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\vartheta^{jk} \ . \ \vartheta^{kj} \ = \ \delta_j^k \quad $}$$ (10.17)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varphi^{jk} \ . \ \varphi^{kj} \ = \ \delta_j^k \quad $}$$ (10.18)

Untereinander weisen sie folgende Eigenschaften auf:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}r^{jk} \ . \ \vartheta^{jk} \ = \ \v... ...box {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\vartheta^{jk} \ . \ r^{jk} \ = \ \phi^{kj} \quad $}$$ (10.19)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\vartheta^{jk} \ . \ \varphi^{jk} \ ... ... {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varphi^{jk} \ . \ \vartheta^{jk} \ = \ r^{kj} \quad $}$$ (10.20)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varphi^{jk} \ . \ r^{jk} \ = \ \var... ... {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}r^{jk} \ . \ \varphi^{jk} \ = \ \vartheta^{kj} \quad $}$$ (10.21)

Bezeichen wir den infinitesimalen polaren Viererortstensor mit $dy^{jk}$, so können wir für seine Komponente schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}dy^{1k} \ = \ \left( \, c\, dt \ , \... ...theta\, \ , \ \varphi^{1k}\, r\, sin(\vartheta)\ d\varphi\, )\, \right)\quad $}$$ (10.22)

Die Überführung der kartesischen in Polarkoordinaten wurde realisiert, in dem wir jeden Komponenten des Linienelements $(dr, \, r\, d\vartheta, r\, sin(\vartheta)\, d\varphi)$ eine explizite orthogonale Transformationen zugeordnet haben. Die so entstandene Raumelemente sind Komponenten der polaren Vierertensoren mit den Einheitsvektoren der kartesischen Koordinaten. Wir weisen an dieser Stelle besonders darauf hin, daß im Gegensatz zur kartesischen Koordinaten $(dx\, , dy\, , dz)$ wir mit fünf Variabln $(dr\, ,d\vartheta\, ,d\varphi\, ,r\, ,sin(\vartheta))$ der Polarkoordinaten zu tun haben. Für das Abstandquadrat erhalten wir unter Berücksichigung von (10.16), (10.17) und (10.18):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}ds^2 \ = \ (\, c^2\, dt^2\, - \, (\,... ..., r^2\, d\vartheta^2\, + \, r^2\, sin(\vartheta)^2\, d\varphi^2\, )\, )\quad $}$$ (10.23)

Analog zu (10.22) kann man die Vierergradienten der Polarkoordinaten ermitteln. man findet sie:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\partial^{1k}\ = \ \left(\, \display... ...vartheta)}\displaystyle\frac {\partial}{\partial \varphi}\, )\, \right)\quad $}$$ (10.24)

Dieses Ergebnis in (10.23) kommt der Vorstellung eines orthogonalen polaren Ortsvektors mit Einheitsvektoren $(\vec{e_r}\, , \vec{e_\vartheta}\, , \vec{e_\varphi})$ nahe. Diese Äquivalenz zu den kartesischen Koordinaten bleibt aufrechtenthalten, solange die Berechnungen (die Tensorprodukte) keine Vierergradienten enthalten. Hierzu betrachten wir die vereinfachte Gleichung (7.18):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\, {\sf div} \displaystyle\frac {\vec{e^+}_{(\vec{r})}}{c}\, \ , \ \ -{\sf rot} \vec{b^-}\, ) \quad $}$$ (10.25)

Man findet oft in der Literatur Integralgleichungen, die zur Definition^10.1$^)$ (10.25) der div und rot der Vektoren beitragen: Nach Gauß - Ostrogradskischen Formel ist das Volumenintegral der div gleich dem Vektorfluß der Oberfläche des Bereiches:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}{\sf div} \vec{e^+}_{(r,\vartheta,\v... ...yle\oint \vec{e^+}_{(r,\vartheta,\varphi)} . d\vec{f}\, }{\triangle v} \quad $}$$ (10.26)

und nach Stockesschen Formel ist die Zirkulation des Vektorfeldes $\vec{b^-}$ längs der Kontur $(\vec{s})$ einer Fläche $(\vec{f})$ gleich dem Integral der Normalkomponente der rot über die Fläche selbst, d.h. gleich dem Wirbelfluß durch die Fläche:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}{\sf rot} \vec{b^-}_{(r,\vartheta,\v... ...yle\oint \vec{b^-}_{(r,\vartheta,\varphi)} . d\vec{s}\, }{\triangle f} \quad $}$$ (10.27)

Unsere Beweislage wird sich aber nicht auf diese Gleichungen stützen. Lediglich werden wir sie zum Vergleich heranziehen. Wir errechnen zuerst das Volumen und das Flächenelement aus den Komponenten in (10.22). Man erhält:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}dv_1^k \ = \ i dr\, r\, d\vartheta\,... ...) \ = \ i\ r^2\, dr\, d\vartheta\, sin(\vartheta)\, d\varphi \delta_1^k\quad $}$$ (10.28)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}d\vec{f} \ = \ -(\, (\, r^2\, sin(\v... ..., )\, \vartheta^{1k}\, \ , (\, r\, dr\, d\vartheta\, )\, \phi^{1k}\, ) \quad $}$$ (10.29)

Nun errechnen wir das Tensorprodukt $\partial^{1k}. \acute{a^{kj}}$ aus: In ${\sf div} \vec{e^+}_{(r,\vartheta,\varphi)}$ können außer $(dr\, ,d\vartheta\, ,d\varphi)$ noch $(r^2$ und $sin(\vartheta))$ und in ${\sf rot}\vec{b^-}_{(r,\vartheta,\varphi)}$ die Größen $(r$ und $sin(\vartheta))$ in die Berechnungen eingehen. Bei der Ableitungen wird die Transformationenmatrix konstant gehalten und nur ihre Faktoren, des Flächen

$$f_{(r,\vartheta,\varphi)}=(\, r^2\, sin(\vartheta)\, ,r\, sin(\vartheta)\, ,r\, )$$ (10.30)

bzw. des Linienelements

$$s_{(r,\vartheta,\varphi)}= (1\, , r\, , r\, sin(\vartheta))$$ (10.31)

differenziert. Führen wir die Differenzation durch, so finden wir für den polare $\vec{e^+}_{(r,\vartheta,\varphi)}$ und axialen Vektor $\vec{b^-}_{(r,\vartheta,\varphi)}$

$$\left( \displaystyle\frac {1}{f_r}\displaystyle\frac {\partial}{\... ...rtheta)}\displaystyle\frac {\partial}{\partial \varphi}(s_rb^-_r)\vartheta^{1k}$$ (10.32)

$$\displaystyle\frac {1}{s_\vartheta}\displaystyle\frac {\partial}{... ...splaystyle\frac {\partial}{\partial \varphi}(s_\vartheta b^+_\vartheta ) r^{1k}$$ (10.33)

$$-\displaystyle\frac {1}{s_\varphi}\displaystyle\frac {\partial}{\... ...}\displaystyle\frac {\partial}{\partial \varphi}(f_\varphi e^+_\varphi )\right)$$ (10.34)

Berücksichtigen wir diesen Umstand bei der Ableitungen nach $(r\, ,\vartheta$ und $\varphi)$, so finden wir für div eines polaren Vektors $({\sf rot}\, \vec{e}=0)$ im Fall der Oberflächenabhängigkeit der Matrix $(r^{kj}\, ,\vartheta^{kj}\, , \varphi^{kj})$ übereinstimmend mit den Termen in den runden Klammern von (10.32), (10.33) und (10.34):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}{\sf div}\vec{e^+}_{(r,\vartheta,\va... ... sin(\vartheta)}\displaystyle\frac {\partial}{\partial \varphi}e^+_{\varphi} $}$$ (10.35)

Entsprechende Formel erhalten wir für die rot eines axialen Vektors $({\sf div}\, \vec{b}=0)$ , falls wir die genannten Matrixen als linear (10.32), (10.33), (10.34) betrachten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}{\sf rot} (\vec{b^-}_{(r,\vartheta,\... ...le\frac {\partial}{\partial \vartheta}b^-_r\, ) \phi^{1k} \end{array}\right) $}$$ (10.36)

Äquivalent zu div kann man den Laplace Operator ableiten. Analog zu (10.33) erhalten wir für das Drehimpulsquadrat:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\hbar {\sf grad})^2 = -\hbar^2 \lef... ...{r sin(\vartheta)}\displaystyle\frac {\partial}{\partial \varphi})^2 \right) $}$$ (10.37)

Diese, sind die Differentialgleichungen der Kugelfuntionen. Sie werden in radialen und winkelabhängigen Kugelfunktionen unterteilt.