Das Dichten-Potential

Um das Gesetz der Ladungserhaltung abzuleiten, müßen wir zuerst das Dichtenpotential der ET ermitteln. Dazu wenden wir uns zuerst der Gleichung (7.1) zu und schreiben für ihre rechte Seite:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-i\displaystyle\int \limits_\omega \... ...int \limits_{\partial\omega} \ df^{1k} \ (\partial^{kj}\ . \ \j^{kj}) \quad $}$$ (7.24)

Diese Beziehung ist der vierdimensionale Gaussche Satz. In dem linken Term steht der Skalar $d\omega_k$ für das vierdimensionale Volumenelement. Er ist stets imaginär und ist eine Invariante des Vierdimensionalen Bezugssystems der ET. Die Komponente dieses vierdimensionalen antisymetrischen Tensors^7.4$^)$ lautet :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}d\omega_1^k \ = \ ( \ d\omega \ \ , \ \ \vec{0} \ ) \ \qquad \mbox{mit} \ \ d\omega \ = \ icdt dx dy dz \quad $}$$ (7.25)

Auf der rechten Seite von (7.24) erstreckt sich das Viererintegral über die Viererhyperfläche $f^k$. Sie ist ein echter axialer Vierervektor der ET. Für seine Komponete finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}df^{1k} \ = \ (\, dv \ , \ \ icdt \ d\vec{f}\, ) \qquad $}$$ (7.26)

Trotz des imaginären infinitesimalen Ortsvektors $id\vec{r}$ ist das dreidimensionale Volumenelement $dv$ ein reeller Skalar. Im Gegensatz zu IT ist der zweidimensionale Flächenvektor $d\vec{f}$ reell, aber kleiner Null. Das bedeutet, daß die Richtung der Flächennormale nach innen gerichtet ist. Für die ablaufenden Prozesse in Richtung Zukunft ist der Skalar $cdt \geq 0$. Aus (7.26) können wir die Viererhyperflächen-Differential ableiten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {\partial}{\parti... ...rtial}{\partial f_y}, \ \displaystyle\frac {\partial}{\partial f_z}\, )\Big) $}$$ (7.27)

Die Komponeten aus dem Produkt der runden Klammer in der linken Seite von (7.24) lauten nun:

$$\fbox {$ \begin{array}{rcl}\rule[-4mm]{0cm}{1cm}R_V \left( \, (\d... ...aystyle\frac {{\vec{\j}^{\ -}}_{(ct,\vec{r})}}{c}) \right) \qquad\end{array} $}$$ (7.28)

Integrieren wir die Gleichung (7.28) und berücksichtigen wir die Beziehung $\vec{j} = \vec{v} \rho$, so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\begin{array}{rcl} R_V \ \left((\, \... ...aystyle\frac {{\vec{\j}^{\ -}}_{(ct,\vec{r})}}{c}) \right) \qquad\end{array} $}$$ (7.29)

Das erste Glied der skalaren Komponenten der Gleichung (7.29) stellt das Potential der positiven und das zweite Glied das Potential der negativen Elementarladung ( Lamb-Shift) dar. Das erste Glied der polaren Vektorkopomenten von (7.29) stellt das elektromagnetische Vektorpotential der negativen und das zweite Glied das Vektorpotential der positiven Elementarladung dar. Das Vektorpotential der axialen Komponente von (7.29) ist schließlich gleich null.