Das Dichten-Potential

Wir schreiben zuerst für die bessere Übersicht die Gleichung (6.1) um und erhalten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}i\displaystyle\int \limits_\Omega \p... ...e\int \limits_{\partial\Omega} \ dF_{1k} \ (\partial_{kj}\ . \ J_{kj}) \quad $}$$ (6.24)

Diese Beziehung ist der vierdimensionale Gausschen Satz. In dem linken Term steht der Skalar $d\Omega_k$ für das vierdimensionale Volumenelement. Er ist stets imaginär und ist eine Invariante des Vierdimensionalen Bezugssystems der IT. Die Komponente dieses vierdimensionalen antisymetrischen Tensors^6.4$^)$ lautet :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}d\Omega_k^1 \ = \ ( \ d\Omega \ \ , \ \ \vec{0} \ ) \ \qquad \mbox{mit} \ \ d\Omega \ = \ -icdT dX dY dZ \quad $}$$ (6.25)

Auf die rechte Seite von (6.24) erstreckt sich das Viererintegral über die Viererhyperfläche $F_k$. Sie ist ein echter axialer Vierervektor der IT. Für seine Komponete finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}dF_{1k} \ = \ (\, idV \ , \ \ cdT \ d\vec{F}\, ) \qquad $}$$ (6.26)

Trotz dem reellen infinitesimalen Ortsvektor $d\vec{R}$ ist das dreidimensionale Volumenelement $dV$ ein imaginärer Skalar. Aus dem Grund ist der zweidimensionale Flächenvektor $d\vec{F}$ reell und größer Null. Das bedeutet, daß die Richtung der Flächennormale nach außen gerichtet ist. Für die ablaufenden Prozesse in Richtung Zukunft ist der Skalar $cdT \geq 0$. Hieraus folgt, daß der reelle gemischte Vektor stets $\geq 0$ ist. Man kann diesen Sachverhalt an folgender Formulierung veranschaulichen. Die Strömung durch eine gedachte Vektorröhre durch zu ihr senkrechtstende Fläche, kommend aus der Vergangenheit, die in Richtung Zukunft fließt, ist einer reversibele Vorgang. Folglich ist das gemischte Produkt $cdT d\vec{F}$ stets Invariant gegenüber den Raum-Zeit Spiegelungen. Aus (6.26) können wir die Viererhyperflächen-Differential ableiten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {\partial}{\parti... ...rtial}{\partial F_Y}, \ \displaystyle\frac {\partial}{\partial F_Z}\, )\Big) $}$$ (6.27)

Die Komponeten aus dem Produkt der runden Klammer in der linken Seite von (6.24) lauten nun:

$$\fbox {$ \begin{array}{rcl}\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\alpha \left( \, ... ...displaystyle\frac {{\vec{J}^+}_{(cT,\vec{R})}}{c}) \right) \qquad\end{array} $}$$ (6.28)

Diese ist die sogenannte Kontinuitätsgleichung in der Differentialform. Integrieren wir die Gleichung (6.28) und berücksichtigen wir die Beziehung $\vec{J} = \alpha\vec{u} \varrho$, so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\begin{array}{rcl} \alpha \left( (\,... ...displaystyle\frac {{\vec{J}^+}_{(cT,\vec{R})}}{c}) \right) \qquad\end{array} $}$$ (6.29)

Das erste Glied der skalaren Komponenten der Gleichung (6.29) stellt das Potential der negativen und das zweite Glied das Kernpotential der positiven Elementarladung dar. Das erste Glied der polaren Vektorkopomenten von (6.29) stellt das elektromagnetische Vektorpotential der positiven und das zweite Glied das Vektorpotential der negativen Elementarladung dar. Der axiale Komponente von (6.29) ist schließlich das Null-Potential.