Der Viererimpuls der Impulstheorie

Zwischen zwei Punkten $P_1$ und $P_2$ liegende Verbindungskurven bestimmen wir derart, daß ihre Länge $R$ minimal wird. Die Länge dieser Kurve (infinitesimale Länge) ist offenbar ein Viererskalar und daher ist sie invariant gegenüber Drehungen des Vierdimensionalen Koordinatensystems. Für das Quadrat des Viererabstandstensors in der Impulstheorie finden wir :

$$(dX_{jk}) \ . \ (dX_{kj}) = \delta_j^k \ dS^2$$ (4.1)

Dividieren wir die Komponente dieser Gleichung durch den Skalar $dS$, so erhalten wir bis auf eine konstante Größe den Integrand des Viererdrehimpulses :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(U_{jk}) \ . \ (dX_{kj}) = \delta_j^k \ dS \ \ \ \ \ mit \ \ \ U_{1k} = \displaystyle\frac {dX_{1k}}{dS} \ \ $}$$ (4.2)

Die Komponenten dieses Tensors (der Viererdrehimpusintegrand) bilden wir aus den Skalaren (4.2) und dem Teilchen speziffischen Vierertensor $P_j^k$ derart, daß dieses Produkt die Dimension $\bf [joule \ sec]$ hat. Bezeichnen wir die Komponente des Viererdrehimpulstensors mit $L_j^k$ so können wir für seine Differentiale schreiben:

$$dL_k^j = ( \displaystyle\frac {\partial}{\partial X_{kj}}\ . \ L_k^j ) \ . \ dX_{kj} = ( P_j^k \ . \ U_{jk} ) \ . \ dX_{kj}$$ (4.3)

Aus dem Vergleich der beiden Seiten finden wir :

$$( \displaystyle\frac {\partial}{\partial X_{kj}}\ . \ L_k^j ) = ( P_j^k \ . \ U_{jk} )$$ (4.4)

Für seine Komponenten erhalten wir :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {\partial}{\partial X_{k1}}\ L_k^1 = ( i p \ \ , \ \ \vec{P} ) \ \ $}$$ (4.5)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}mit \ \ \ p = \displaystyle\frac {m_... ...e\frac {( m_0c ) \vec{t}}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}} \ \ $}$$ (4.6)

Aus der Gleichung (4.5) erkennt man, daß $L_k^1$ ein Skalar ist, sonst würde auf der rechten Seite für das Produkt zweier Vierervektoren ein Viererskalar stehen, was ein Widerspruch zu der linken Seite wäre. Daraus folgt wie schon oben erwähnt: Die Wirkung ist eine skalare Größe, die im Bezug des dualen Bezugssystems eine Invariante darstellt. Weiterhin schließen wir, daß die partiellen Ableitungen der Wirkung nach der Viererkoordinaten in (4.5) verschwinden, was ebenfalls ein Widerspruch zu der rechten Seite ist. Das Dilemma lässt sich beheben, falls man die linke Seite dieser Gleichung als Impulsoperator oder das Produkt der Drehimpulsinvariante^4.2$^)$ $\hbar$ mit dem Vierergradient, der als Viererimpuls bezeichnet wird, auffasst.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar_k^1 \displaystyle\frac {\parti... ...\partial X_{k1}}= P_j \ \ \ mit \ \ \ \hbar_k^1 = \delta_k^1 \ \hbar \quad \ $}$$ (4.7)

Der Vergleich der beiden Seiten von (4.5) mit $k = 1 \ und \ J = 1, 2, 3, 4$ liefert :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-i\hbar\displaystyle\frac {\partial}... ...rtial}{\partial Y}, \ \displaystyle\frac {\partial}{\partial Z}) = \vec{P} \ $}$$ (4.8)

Das Quadrat des Viererimpulses ist eine Invariante. Als Beweis quadrieren wir die Gleichung (4.7) und erhalten:

$$\hbar^2 \bigg( -\displaystyle\frac {\partial^2}{c^2 \partial T^2}... ...}+ \displaystyle\frac {\partial^2}{\partial Z^2}\ ) \bigg) \ = \ (m_0 c)^2 \ \$$

Für die rechte Seite gilt die Beziehung :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P^2 \ - \ p^2 \ = \ m_0^2 c^2 \ \ $}$$