Die Wirkung in der Impulstheorie

Das Drehimpulsintegral wird häufig als das Wirkungsintegral bezeichnet. Obwohl diese Bezeichnung nicht zutreffend ist, werden wir sie doch beibehalten. Die Wirkung ist eine invariante bezüglich des dualen^4.3$^)$ Bezugssytems. Die physikalische Schlußfolgerung aus dieser außerordentlich wichtigen Erkenntnis ist unter anderem, die Bezugssystemunabhängigkeit der Konstante $m_0$, die als Teilchen-Ruhemasse seine mechanischen Eigenschaften darstellt. Es gilt daher die Beziehung :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P_j^k = (m_0 c) \ \delta_j^k \ \ \ \ \ $}$$ (4.9)

Die Komponente des Viererwirkungsintegrals der Impulstheorie lautet :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}S_k^1 = P_1^k \ \displaystyle\int \l... ...\quad = \quad P_1^k \ \displaystyle\int \limits_{X_i} dX_{1k} \ . \ U_{kj} \ $}$$ (4.10)

oder auch in der einfacheren Form

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}- S = m_0 c \ \displaystyle\int \limits^{L_2}_{L_1} dR \ \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}\ $}$$ (4.11)

Um die Größenordnung der Wirkungsinvariante $\hbar$ abzuschätzen, errechnen wir zuerst den Integrand in (4.10) aus. Für das Viererintegral erhalten wir :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-S = -\displaystyle\int \limits_{c {... ...\ \ m = \displaystyle\frac {m_0}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}}$$ (4.12)

Seiner Zeit haben wir die duale Einheit ${\bf\pm 1}$ durch das Produkt $(\alpha^{-1} \ \beta)$ festgelegt. Für die zeitabhängigen Therme führen wir $v u = (\frac{\omega}{k}) \ (\frac{\Omega}{K})$ ein ^4.4$^)$. Die differentielle Form dieser Beziehung lautet :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {dR}{cdT} \ \disp... ...ac {dr}{cdt} = \displaystyle\frac {dR}{cdt} \ \displaystyle\frac {dr}{cdT} \ $}$$ (4.13)

Folglich erhalten wir :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {dR}{cdt} \ = \ \... ...\quad \displaystyle\frac {dR}{cdt} \ = \ \displaystyle\frac {dr}{cdT} = -1 \ $}$$ (4.14)

Mit der linken Seite von (4.14) können wir für die Lichtgeschwindigkeit schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {dR}{dt} = c = \d... ...ac {\omega}{K} \ \ \ \ mit \ \ \ \ K = \displaystyle\frac {2 \pi}{\Lambda} \ $}$$ (4.15)

und mit der rechten Seite von (4.14) finden wir :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {dr}{dT} = c = \d... ...ac {\Omega}{k} \ \ \ \ mit \ \ \ \ k = \displaystyle\frac {2 \pi}{\lambda} \ $}$$ (4.16)

Mit Hilfe von (4.16) und $dR = Rd\phi$ schreiben wir die beiden Terme um und erhalten schließlich unter der Berücksichtigung, daß die Wirkung im Koordinatenursprung und im Unendlichen verschwindet:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-S = - \displaystyle\frac {1}{2\pi}\... ...yle\int \limits_{\phi_1=0}^{\phi_2=2\pi} \{ m c \ Rd\phi \} \ \right) \qquad $}$$ (4.17)

Aus der Invarianz des dualen Abstands schließen wir auf die Invarianz der dualen Wirkungsintegrale. Folglich erhalten wir :

$$\displaystyle\int \limits_{c\tau} m_0 c \ cdt \sqrt{ 1 \ - \ \dis... ...laystyle\int \limits_L m_0 c \ dR \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}$$

Die gesuchte Invaiante wie letztlich vereinbart wurde (s. (1.1.1)), hat die Dimension $[VAs^2]$ und kann nur der Quant $h$ sein, der nach seinem Entdecker Max Planck das Planksche Wirkungsquantum genannt wird. Unter der Berücksichtigung, daß die Wirkung eine endliche Größe ist, erhalten wir nach der Integration der Gleichung (4.17) schließlich :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}S \ = \ \Big( \ \displaystyle\frac {... ... \, m c \ R \, \} \ \ \ mit \ \ \ \lambda \equiv 2 \pi l \ \ \ oder \ \ ...\ $}$$ (4.18)

Erwartungsgemäß liefert das zeitabhängige Glied mit $\Omega dT$ den Term mit der Welleneigenschaft. Er ist unabhängig von der Ausdehnug der jeweiligen Welle. Der zweite Term ist ortsabhängig und gibt den Drehimpulscharakter wieder. Er ist unanhängig von den Änderungen des Ortsvektors. Die Anpassung an die linke Seite dieser Gleichung können wir aus den Beziehungen

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}S \ \geq \ \left( \ \displaystyle\fr... ...ule[-4mm]{0cm}{1cm}S \, \geq \ \left(\, \hbar \, - \, s\hbar\, \right) \quad $}$$ (4.19)

entnehmen. Der Faktor $s$ ist die sogenannte Spin-Quantenzahl. Für die ganzzahligen $S-Werte$ erwartet man aus der ersten Beziehung mit Heisenbergscher Unbestimmtheitsrelation (UBR) $s=\pm \displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }$ und aus der zweiten Beziehung mit der De Broglie Welle $s=\pm 1$.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar \ \leq \ \left( \displaystyle\... ... { m v \ \lambda }{2\pi} \right) \ \quad \mbox{{\bf De Broglie Welle}} \quad $}$$ (4.20)

und für den zweiten Summand des Spinquants erhalten wir :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( s\, \hbar \right) \ \leq \ \{ \ m c \ R \ \} \quad \ \mbox{\bf der \ Spin-Quant} \quad $}$$ (4.21)