Das Variationsprinzip der Impulstheorie

Das Prinzip der kleinsten Wirkung, von dem wir schon flüchtig gesprochen haben, basiert auf Variation der Integralgleichungen (4.10) und (4.11). Zuerst beschäftigen wir uns mit der rechten Seite von (4.11) und variieren zunächst die zeitunabhängige Bahn. Die Bahnstücke, die durch zwei feste Punkte gehen, sollen an diesem unvariiert bleiben. Es soll also gelten: $\delta L_1 \ = \ \delta L_2 \ = \ 0$

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta S \ = \ m_0 c \displaystyle\... ...mits_{L_1}^{L_2} \delta (dR \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}) \ $}$$ (4.22)

Bevor wir die Variation durchführen, verweisen wir auf einige Beziehungen, die wir bei den Berechnungen einsetzen. Darin sind auch zeitabhängige Formeln enthalten, die wir an dieser Stelle nicht anwenden.

$$\delta \displaystyle\frac {dR}{cdT} \ = \ \displaystyle\frac {d}{cdT}\delta R \ \ \ mit \ \ \ \delta dR = d\delta R \$$ (4.23)

$$\delta \displaystyle\frac {dR}{cdT} \ = \ -\displaystyle\frac {dR}{c^2dT^2}\delta cdT \ \ \ mit \ \ \ \delta cdT = cd\delta T \$$ (4.24)

Unter der Berücksichtigung der linken Seite (4.23) finden wir für den Integrand:

$$-\delta S \ = \ \displaystyle\int \limits_{L_1}^{L_2} mc \vec{t} ... ...\ \ m = \displaystyle\frac {m_0}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}}$$ (4.25)

Durch die partielle Integration erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta S \ = \ mc \vec{t} \ . \ \de... ... \ (\displaystyle\frac {d}{ds} mc \vec{t} \ .\ \delta \vec{R} ) \ ds \ = \ 0 $}$$ (4.26)

Das erste Glied dieser Gleichung ist wegen $\delta \vec{R}_{(L_1)} = \delta \vec{R}_{(L_2)}$ gleich null. Das zweite Glied muß ebenfalls verschwinden, damit wir dem linken Teil von (4.22) gerecht werden. Diese Bedingung ist dann erfüllt, falls der Integrand gleich null ist. Daraus können wir auf die Konstanz der Vierergeschwindigkeit schließen. Das bedeutet aber keineswegs, daß ein freies Teilchen, daß keinen äußeren Einflüssen unterliegt, und keine elektromagnetischen Signale empfängt oder aussendet, ruhen muß. Die Konstante Geschwindigkeit $c$ ist zugleich die Bewegung seines Bezugssystems. Analog kann man in (4.22) die Zeit variieren. Unter der Berücksichtigung von (4.24) erhalten wir für die gleiche Beziehung :

$$-\delta S \ = \ -\displaystyle\int \limits_{c{\cal T}_1}^{c{\cal ... ...\ \ m = \displaystyle\frac {m_0}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}}$$ (4.27)

integrieren wir diese Gleichung partial, so finden wir :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta S \ = -\ mv \ c\delta T {\le... ...^{c{\cal T}_2} \ (\displaystyle\frac {d}{ds} mv \ c\delta T ) \ ds \ = \ 0 \ $}$$ (4.28)

Zu dem gleichen Ergebnis gelangt man, falls man die Gleichung (4.10) variiert:

$$-\delta S_{1k} \ = \ m_0c \displaystyle\int \limits_{P_1=(c{\cal T}_1, L_1)}^{P_2=(c{\cal T}_2, L_2)} U_{1k} \ \delta dX_{kj} \ \ \$$ (4.29)

integrieren wir diese Beziehung partial, so finden wir übereinstimmend mit (4.26) und (4.28):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta S_{1k} \ = \ P_{1k} \ . \ \d... ...2} \ (\displaystyle\frac {d}{ds} P_{1k} \ . \ \delta X_{kj} ) \ ds \ = \ 0 \ $}$$ (4.30)

Der erste Term dieser Gleichung ist der Eigendrehimpuls $L_{1k}$. Eine andere Darstellung dieser Gleichung lautet:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}L_{1k} \ = \ X_{1k} \ . \ P_{kj} \quad \quad $}$$ (4.31)

Für seine Komponente finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}L_{1k} \ = \ \left( (\, X_{1k} . P_{1j}\, ) \ , \ X_{1k} \times (\, P_{2j}\, , P_{3j}\, , P_{4j}\, )\,\right) \quad $}$$ (4.32)

Berücksichtigen wir $-\hbar\partial_{jk}= P_{kj}$, so erhalten wir für die Gleichung (4.31):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}L_{1k} \ = -\ X_{1k} \ . \ \hbar \partial_{jk}\quad \quad $}$$ (4.33)

deren Komponenten lauten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}L_{1k} \ = \ \hbar \left(\, (\, \dis... ...ial T}\vec{R}\, ) \, + \, (\, \vec{R} \times {\bf grad}\, ) \, \right) \quad $}$$

und nach Ausrechnung des skalaren Terms und beim konstanten Radius-Vektor erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}L_{1k} \ = \ \left(\, \hbar\, \ , \ ... ...grad} \, cT \, + \, \hbar (\, \vec{R} \times {\bf grad}\, ) \, \right) \quad $}$$ (4.34)

Der letzte Term in der runden Klammer ist der axiale Drehimpulsvektor ( Eigen-Drehmoment). Das Quadrat dieses Vektorproduktes ist gleich:

$$\left\Vert \hbar (\, \vec{R} \times {\bf grad}\, ) \right\Vert^2 ... ...\hbar^2 (\, R^2 \, {\bf grad}^2 \, - \, (\, \vec{R}\, . \, {\bf grad}\, )^2\, )$$

Bei konstantem Radiusvektor $\vec{R}= Konst$ verschwindet der letzte Term, so daß schließlich das Drehimpulsquadrat die Lösung der Differentialgleichung $(\hbar^2 R^2\, \bf gard^2)$ gleichkommt. Die Eigenwerte dieser Differentialgleichung werden wir in den kommenden Kapiteln begegnen und deren Lösungen kennenlernen. man findet vor:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}j \, = \, \hbar \, (\, l \, + \, s \... ...= 0, 1, 2, . . \quad \mbox{und} \quad s\, = \pm\displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }$$