Der Viererimpuls der Energietheorie

Die Verbindungskurven zwischen zwei Punkten $p_1$ und $p_2$ bestimmen wir derart, daß zu zwei unterschiedlichen Ankunftszeiten $t_1$ und $t_2$ eines Lichtsignals, die auf dieser Kurve liegen, minimal wird. Analog zur Impulstheorie haben wir für das Quadrat des infinitesimalen Viererortsvektors der Energietheorie:

$$(dx^{jk}) \ . \ (dx^{kj}) = \delta_j^k \ ds^2$$ (4.35)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(V^{jk}) \ . \ (dx^{kj}) = \delta_j^k \ ds \ \ \ \ \ mit \ \ \ V^{1k} = \displaystyle\frac {dx^{1k}}{ds} \ \ $}$$ (4.36)

In der Energietheorie bilden wir aus dem Skalaren (4.36) und dem Teilchen spezifischen Vierertensor $P_j^k$ den Integrand des Viererwirkungsintegrals. Analog zu der Impulstheorie finden wir die Dimension $\bf [joule \ sec]$ vor. Bezeichnen wir die Komponente des Viererwirkungstensors mit $l_j^k$ so können wir für seine Differentiale schreiben:

$$dl_k^j = ( \displaystyle\frac {\partial}{\partial x^{kj}}\ . \ l_k^j ) \ . \ dx^{kj} = ( p_j^k \ . \ V^{jk} ) \ . \ dx^{kj}$$ (4.37)

Vergleichen wir die Klammer auf beiden Seiten, so finden wir :

$$( \displaystyle\frac {\partial}{\partial x^{kj}}\ . \ l_k^j ) = ( p_j^k \ . \ V^{jk} )$$ (4.38)

Für seine Komponenten erhalten wir :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {\partial}{\partial x^{k1}}\ l_k^1 = ( P \ \ , \ \ i\vec{p} ) \ \ $}$$ (4.39)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}mit \ \ \ P = \displaystyle\frac {(m... ...e\frac {( m_0 \ \vec{v})}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}} \ \ $}$$ (4.40)

Analog zu der Impulstheorie lässt sich das Dilemma der rechten Seite von (4.39) beheben, falls man sie als Viererimpulsoperator auffasst. Das Produkt der Wirkungsinvariante $\hbar$ mit dem Vierergradient der ET wird als Viererimpuls bezeichnet.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar_k^1 \displaystyle\frac {\partial}{\partial x^{k1}}= p^j \ \ \ mit \ \ \ \hbar_k^1 = \delta_k^1 \ \hbar \ \ $}$$ (4.41)

Vergleicht man die beiden Seiten von (4.39) mit $k = 1 \ und \ J = 1, 2, 3, 4$ , so findet man:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\hbar\displaystyle\frac {\partial}{... ...tial}{\partial y}, \ \displaystyle\frac {\partial}{\partial z}) = i\vec{p} \ $}$$ (4.42)

Analog gilt hier die Behauptung : das Quadrat des Viererimpulses ist eine Invariante. Als Beweis quadrieren wir die Gleichung (4.41) und erhalten:

$$\hbar^2 \bigg( -\displaystyle\frac {\partial^2}{c^2 \partial t^2}... ...}+ \displaystyle\frac {\partial^2}{\partial z^2}\ ) \bigg) \ = \ (m_0 c)^2 \ \$$

Für die rechte Seite dieser Gleichung gilt :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P^2 \ - \ p^2 \ = \ m_0^2 c^2 \ \ $}$$

Diese Formel ist unter der relativistischen Hamilton Funktion bekannt. Man findet oft die Schreibweise:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varepsilon^2 \ = \ c^2 p^2\ + \ (m_0c^2)^2 \ \ \ $}$$ (4.43)

Man kann sie auch als linearisierte Form schreiben :

$$\varepsilon - m_0 c^2 \ = \ \displaystyle\frac {c^2 p^2}{ (\varepsilon + m_0 c^2) } \ \ \$$

mit der kinetischen Energie $\ T = \varepsilon - m_0 c^2 \$ erhält man :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}T \ = \ \displaystyle\frac { m v^2}{ (1 + \displaystyle\frac {m_0}{m})} \ \ \ $}$$ (4.44)

Für $m = m_0$ findet man die makroskopische kinetische Energie.