Die Wirkung in der Energietheorie

Analog zu der Impulstheorie ist die Konstante $m_0$ eine Invariante, die mechanische Eigenschaften des Teilchens darstellt.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P_j^k = (m_0 c) \ \delta_j^k \quad \ \quad \ $}$$ (4.45)

Analog zu der Impulstheorie lauten die Komponenten des Wirkungsintegrals in der Energietheorie:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}s_k^1 = P_1^k \ \displaystyle\int \l... ...\quad = \quad P_1^k \ \displaystyle\int \limits_{x^i} dx^{1k} \ . \ V^{kj} \ $}$$ (4.46)

oder in der einfacheren Form geschrieben

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-s = m_0 c \ \displaystyle\int \limits^{l_2}_{l_1} cdt \ \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}\ $}$$ (4.47)

Analog können wir auch hier die Größenordnung der Wirkungsinvariante $\hbar$ abschätzen. Dazu errechnen wir zuerst den Integrand in (4.46) aus. Für den Viererwirkungsintegral erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-s = \displaystyle\int \limits_{c {\... ...\ \ m = \displaystyle\frac {m_0}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}}$$ (4.48)

Mit (4.15) und $dr = rd\varphi$ schreiben wir die beiden Terme in (4.48) um und erhalten analog zu IT:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-s = -\displaystyle\frac {1}{2\pi}\l... ...\int \limits_{\phi_1=0}^{\phi_2=2\pi} \{ m v \ rd\varphi \} \ \right) \qquad $}$$ (4.49)

Analog gilt die Gleichheit des dualen Abstands und folglich die Invarianz der dualen Wirkungsintegrale. Wir erhalten nach der Integration der Gleichung (4.49) schließlich:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}s \ = \ \Big( \ -\displaystyle\frac ... ... \, m v \ r \, \} \ \ \ mit \ \ \ \lambda \equiv 2 \pi l \ \ \ oder \ \ ...\ $}$$ (4.50)

Analog zu IT liefert das zeitabhängige Glied mit $\omega dt$ den Term mit der Welleneigenschaft. Der zweite Term wiedergibt den Drehimpuls der ET.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}s \ \geq \ \left(\, -\hbar \ + \ k\hbar\right) \quad \mbox{mit} \quad \ s=S \quad \ \ $}$$ (4.51)

Wie wir später sehen werden, ist der Faktor $k=\sqrt{\, l(l+1)\, }$, wobei $l$ als sogennante Neben-Quantenzahl bezeichnet wird. Für ein freies Teilchens $k=0$ verschwindet die Wirkung nicht und sie ist im Gegensatz zu IT von Null verschieden. Dagegen aber für ein gebundenes Teilchen ist $k\geq\sqrt{\, 2\,}$. Folglich können wir für den ersten Term, die Compton Welle schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\, \hbar \ \leq \ \left( \displaysty... ...m c \ \Lambda \ }{2\pi} \right) \ \quad \mbox{\bf die Compton-Welle} \ \quad $}$$ (4.52)

und für den zweiten Summand des Drehimpulsquants erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}k\, \hbar \ \leq \ \{ \ m v \ r \ \} \quad \ \mbox{\bf der \ Drehimpuls-Quant} \quad $}$$ (4.53)