Das Variationsprinzip der Energietheorie

Analog zu IT variieren wir die Integralgleichungen (4.46) und (4.47). Zuerst beschäftigen wir uns mit der rechten Seite von (4.46) und variieren zunächst die zeitabhängige Bahn. Die festen Anfangs und Endpunkte bleiben unvariiert : $\delta c\tau_1 \ = \ \delta c\tau_2 \ = \ 0$

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta S \ = \ m_0 c \displaystyle\... ...au_1}^{c\tau_2} \delta (cdt \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}) \ $}$$ (4.54)

Analog zu IT geben wir die Beziehungen bekannt, die wir bei der Variation einsetzen.

$$\delta \displaystyle\frac {dr}{cdt} \ = \ \displaystyle\frac {d}{cdt}\delta r \ \ \ mit \ \ \ \delta dr = d\delta r \$$ (4.55)

$$\delta \displaystyle\frac {dr}{cdt} \ = \ -\displaystyle\frac {dr}{c^2dt^2}\delta cdt \ \ \ mit \ \ \ \delta cdt = cd\delta t \$$ (4.56)

Unter der Berücksichtigung der linken Seite (4.56) erhalten wir für den Integrand:

$$-\delta S \ = \ \displaystyle\int \limits_{c\tau_1}^{c\tau_2} mc ... ...\ \ m = \displaystyle\frac {m_0}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}}$$ (4.57)

Analog zu IT finden wir durch die partielle Integration :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta S \ = \ mc \ c\delta t {\lef... ...tau_1}^{c\tau_2} \ (\displaystyle\frac {d}{ds} mc \ c\delta t ) \ ds \ = \ 0 $}$$ (4.58)

Wegen $c\delta t_{(c\tau_1)} = c\delta t_{(c\tau_2)}$ ist das erste Glied dieser Beziehung gleich null. Wegen dem linken Teil von (4.54) muß das zweite Glied ebenfalls verschwinden. Diese Bedingung tritt dann ein, falls der Integrand verschwindet. Daraus können wir auf die Konstanz der Vierergeschwindigkeit schließen. Das bedeutet aber nicht, daß ein freies Teilchen, daß keinen äußeren Einflüssen unterliegt, und keine elektromagnetischen Signale empfängt oder aussendet, ruhen muß. Die Konstante Geschwindigkeit, mit der sich das Teilchen fortbewegt, ist gleichzeitig die Bewegung seines Bezugssystems. Analog kann man hier den Ortsvektor $\vec{r}$ in (4.48) variieren. unter der Berücksichtigung von (4.55) erhalten wir für die gleiche Beziehung:

$$-\delta S \ = \ -\displaystyle\int \limits_{l_1}^{l_2} m \vec{v} ... ...\ \ m = \displaystyle\frac {m_0}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}}$$ (4.59)

Nach partieller Integration finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta S \ = -\ m \vec{v} \ . \ \de... ... (\displaystyle\frac {d}{ds} m \vec{v} \ . \ \delta \vec{r} ) \ ds \ = \ 0 \ $}$$ (4.60)

Zu dem gleichen Ergebnis gelänge man, analog zu der IT, falls man die Gleichung (4.46) variiert:

$$-\delta S^{1k} \ = \ m_0c \displaystyle\int \limits_{p_1=(c{\tau}_1, l_1)}^{p_2=(c{\tau}_2, l_2)} V^{1k} \ \delta dx^{kj} \ \ \$$ (4.61)

integrieren wir diese Gleichung partial, so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta S^{1k} \ = \ P^{1k} \ . \ \d... ...2} \ (\displaystyle\frac {d}{ds} P^{1k} \ . \ \delta x^{kj} ) \ ds \ = \ 0 \ $}$$ (4.62)

Dieses Ergebnis stimmt mit den Gleichungen (4.58) und (4.60) überein. Der erste Term dieser Gleichung ist der Drehimpuls $l^{1k}$. Eine andere Darstellung dieser Gleichung lautet:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-l^{1k} \ = \ x^{1k} \ . \ p^{kj} \quad \quad $}$$ (4.63)

Für seine Komponente finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-l^{1k} \ = \ \left( (\, x^{1k} . p^... ..., ) \ , \ x^{1k} \times (\, p^{2j}\, , p^{3j}\, , p^{4j}\, )\, \right) \quad $}$$ (4.64)

Berücksichtigen wir $-\hbar\partial^{jk}= p^{kj}$, so erhalten wir für die Gleichung (4.63):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}l^{1k} \ = \ x^{1k} \ . \ \hbar \partial^{jk}\quad \quad $\ }$$ (4.65)

deren Komponenten lauten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}l^{1k} \ = \ \hbar \left( \, ( \, \d... ...}\vec{r}\, ) \, + \, \hbar (\, \vec{r} \times {\sf grad}\, )\, \right) \quad $}$$

und nach Errechnung des skalaren Terms finden wir für $r=konstant$:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}l^{1k} \ = \ \left( \, \hbar \ , \ i... ... grad} \, ct \, + \, \hbar (\, \vec{r} \times {\sf grad}\, )\, \right) \quad $}$$ (4.66)

Der letzte Term in der runden Klammer ist der axiale Drehimpulsvektor ( Drehmoment). Das Quadrat dieses Vektorproduktes ist gleich:

$$\left\Vert \hbar (\, \vec{r} \times {\sf grad}\, ) \right\Vert^2 ... ...\hbar^2 (\, r^2 \, {\sf grad}^2 \, - \, (\, \vec{r}\, . \, {\sf grad}\, )^2\, )$$

Das letztere Glied ist auch bei nichtkonstantem Radiusvektor eine Konstante und trägt nur zur Nullpunktverschiebung bei, so daß schließlich das Drehimpulsquadrat der Lösung der Differentialgleichung $(\hbar^2 r^2\, \sf gard^2)$ gleichkommt. In den kommenden Kapiteln werden wir dieser Differentialgleichungen in Polarkoordinaten begegnen und deren Eigenwerte errechnen. Analog zu IT finden wir vor:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}L \, = \, \hbar \, \sqrt{l\, (\, l + 1 \, )} \quad \quad $}\quad \quad \mbox{mit} \quad l\, = \, 0, 1, 2, . . .$$