Vektoren und Matrix

Im dreidimensionalen kartesischen Raum ist der ${\bf Vektor \> \vec{R}}$ durch seine drei skalaren Komponenten $X_1 , X_2 , X_3$ und $3\, . \, 2^3\, = \, 24$ Einheitsvektoren = zweimal 12 Richtungen^2.1$^)$ $(e_{jk} \> \mbox{mit} \> j \not = k)$ im Raum von Betrag 1 völlig bestimmt ($e_{jk}$ Richtungen fallen mit der Richtungen der entsprechenden Achsen überein). Der Vektor

$${\vec{R}} = ( X_2, X_3, X_4)$$ (2.1)

hat positive Komponenten mit $e_{1k} > 0$. Für $e_{j1} < 0$ erhalten wir :

$$({\vec{R}})^* = - {\vec{R}}$$ (2.2)

Sein Quadrat erhalten wir aus dem eigenen skalaren Produkt.

$$R^2 \, = \, {X_2}^2 + {X_3}^2 + {X_4}^2$$ (2.3)

Der Betrag eines beliebigen Ortsvektor lautet:

$$r = \sqrt{ {x_2}^2 + {x_3}^2 + {x_4}^2}$$ (2.4)

Das Produkt eines Vektors mit einem Skalar ( die Paralellverschiebung) und das Vektorprodukt sind zwei weitere Vektorverknüpfungen, die aber zur Änderung seiner Lage im Raum führen. Bei einem Eigenprodukt entstehende polarer

$${\vec{N} = r \> \vec{R} - \vec{R} \> r} , \> mit \> r = Konstant$$ (2.5)

und axialer

$${\vec{N} = \vec{R} \times \vec{R}}$$ (2.6)

Vektor bezeichen wir als Nullvektor $\vec{N}$ da bekanntlich seine Lage dadurch unverändert bleibt. Fasst man die Formel (2.1) und (2.4) in einem Schema oder einer Matrix zusammen, so besitzt diese eine affine Transformationseigenschaft, die bei einer Anwendung auf sich selbst die Formel (2.3), (2.5) und (2.6) wiedergibt. Bis auf das Quadrat eines skalaren Wertes ist das Ergebnis dieser Transformation gleich Null, was noch zu beweisen ist.

$$\triangle R^2 = R^2 - r^2$$ (2.7)

Nun versuchen wir durch eine einfache Überlegung diese 9 Größen in ein Schema zusammenzufassen (8 Vektoren und einen Skalar). Zuerst bilden wir aus (1.7) und (1.10) ein orthogonales System von Vektoren, die zueinander senkrecht stehen und fassen sie als einen komplexen Vierervektor zusammen:

$${ R_j = ( ir \> , \>\> \vec{R} )}$$ (2.8)

Die Komponenten dieses Vierervektors tragen wir in einer Matrix so ein, daß bei einer richtigen Wahl des Vorzeichens vier linearunabhäbgige Zeilen und vier linearunabhängige Spaltenvierervektoren entstehen. Folgende Einleitung würde diese Auswahl erleichtern. Zuerst ordnen wir die skalaren Komponenten in der Diagonale der Matrix ein und so rekonstoruieren wir eine skalare Vierermatrix:

$$R_{jk} = \left( \begin{array}{llcl}ir & \cdots & \cdots & \cdots ... ...ts & \cdots & ir & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & ir \end{array} \right)$$ (2.9)

Nun tragen wir in der ersten Zeile die positiven Vektorkomponenten und in der ersten Spalte ihre Spiegelbildkomponenten ein. Diese Vektoren werden mit polaren Vektoren bezeichnet.

$$R_{jk} = \left( \begin{array}{llcl}\cdots & X & Y & Z \\ -X & \c... ... \cdots & \cdots & \cdots \\ -Z & \cdots & \cdots & \cdots \end{array} \right)$$ (2.10)

Die restlichen Komponenten bilden die sogenannte dreidimensionalen antisymetrische Tensor zweite Stufe, die im Grunde wie die polare Vektoren auch aus zwei Vektoren zusammengesetzt ist. Diese Vektoren werden axialen Vektoren genannt.

$$R_{jk} = \left( \begin{array}{llcl}\cdots & \cdots & \cdots & \cd... ...Y \\ \cdots & Z & \cdots & -X \\ \cdots & -Y & X & \cdots \end{array} \right)$$ (2.11)

Die Addition aus (2.9), (2.10) und (2.11) ergibt die vollständige Vierermatrix. Sie ist antisymetrisch d.h. ihre Komponenten links der Diagonale liegend sind das Spiegelbild der rechtsliegenden Komponenten. Sie wird als antisymetrischer Vierertensor bezeichnet.

$$R_{jk} = \left( \begin{array}{llcl}ir & X & Y & Z \\ -X & ir & -Z & Y \\ -Y & Z & ir & -X \\ -Z & -Y & X & ir \end{array} \right)$$ (2.12)

Zum Abschluß noch ein Hinweis zur Vierertensorkoponenten: wir werden häufiger von den Komponenten eines Vierertensors sprechen. Damit wird immer der erste Zeilenvierervektor der zugehörigen Matrix gemeint z.B.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ X_{1k} = ( ir \>\>, \>\>\> \vec{R} ) \>\>\>\> mit \> k = 1,2,3,4 \ $}$$ (2.13)