Die Eigenwerte der Impulstheorie

In diesem Kapitel behandeln wir das kräftefreie Teilchen (Teilchen ohne äußeres Feld) und bestimmen seine Eigenwerte. Zuerst bilden wir das Viererprodukt:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar^2\, (\, \partial_{1k}\, . \, \partial_{jk}\, ) \ = \ (\, P_{k1} \ . \ P_{kj}\, ) \quad $}$$ (9.1)

Errechnen wir die Klammer auf beiden Seite aus, so finden wir mit $-\hbar\displaystyle\frac {\partial}{c \partial T}= \displaystyle\frac {\, \varepsilon\, }{c}$ und $p^2 \, + \, P_0^2 \ = \ P^2$ für die skalare Komponente des Viererprodukts (9.1):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar^2 \, {\bf grad}^2 \, + \, (\, (\displaystyle\frac {\, \varepsilon\, }{c})^2 \ + \ P_0^2\, ) \ = \ 2 P^2 \quad $}$$ (9.2)

Die Gleichung (9.2) ist die Differentialgleichung des kräftefreien Teilchens der IT. Multiplizieren wir diese Gleichung mit der Wellenfunktion $\Psi$, so erhalten wir die Wellengleichung des Spinors.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\, \hbar^2 \, {\bf grad}^2 \, + \, ... ..., \varepsilon\, }{c})^2 \ + \ P_0^2\, )\, )\, \Psi \ = \ 2 P^2 \, \Psi \quad $}$$ (9.3)

Um sie zu lösen, werden wir zuerst die kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten überführen, welches unser Ziel im nächsten Abschnitt ist.