Das magnetische Moment der ET

Analog zu der IT bilden wir das Integral des magnetischen Moments ET aus Invarianten $e$, $c$ und $ds$:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-m^{1k} \ = \ (\displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0})\, m_0\, c \displaystyle\int \limits dx^{1k} \ . \ V^{kj} \quad $}$$ (8.10)

Diese Gleichung ist bis auf den Faktor $(\displaystyle\frac {e^-}{m_0})$ dem Wirkungsintegral (4.61) identisch. Analog variieren wir diese Gleichung und nach partieller Integration finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta m^{1k} \ = \ (\displaystyle\... ...delta x^{1k} \ . \ \displaystyle\frac {\, d\, }{ds}(\, P^{kj}\, )\, ds \quad $}$$ (8.11)

Aus Analogie zu dem Drehimpuls können wir für den magnetischen Moment, den wir hier mit $\mu$ bezeichnen schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\mu \partial^{1k}\ = \ (\displaysty... ...eft( (\displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0}) \ \hbar\right) \partial^{1k}\quad $}$$ (8.12)

Für die Invariante $\mu$ des magnetischen Momentes finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\mu \ = \ (\, \displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0}\, ) \, \hbar \quad \quad \quad $}$$ (8.13)

Der erste Term in (8.11) ist analog zu der IT die Vierertensorskomponente des magnetischen Moments der ET:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}m^{1k} \ = \ x^{1k} \ . \ \mu \partial^{jk}\quad \quad $}$$ (8.14)

Errechnen wir seine Komponenten, so erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}m^{1k} \ = \ \mu \left(\, (\, \displ... ...ial t}\vec{r}\, ) \, + \, (\, \vec{r} \times {\sf grad}\, ) \, \right) \quad $}$$

und nach Ausrechnung des skalaren Terms finden wir die einfachere Schreibweise bei konstantem Radius:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}m^{1k} \ = \ \left(\, \mu\, \ , \ -i... ...f grad} \, ct \, + \, \mu (\, \vec{r} \times {\sf grad}\, ) \, \right) \quad $}$$ (8.15)

An dieser Stelle ist es angebracht zu erwähnen, daß die Gleichungen (8.6) und (8.15) bis auf das Vorzeichen die gleichen Strukturen aufweisen. Die reellen Vektorkomponenten der beiden magnetischen Momente sind entgegengerichtet. Der letzte Term in der runden Klammer ist der Vektor des axialen magnetischen Moments. Der Betrag dieses Vektorprodukts ist analog zu IT:

$$\left\Vert \mu (\, \vec{r} \times {\sf grad}\, ) \right\Vert^2 \ = \ \mu^2 (\, r^2 {\sf grad}^2 \, - \, (\, \vec{r} \, . \, {\sf grad} \, )^2 \, )$$

Der letzte Term ist eine Konstante $({\sf div} \, \vec{r})$ und trägt nur zur Nullpunktverschiebung bei. Bezeichnen wir mit $\vec{m} \, = \, \mu\, (\vec{r} \times {\sf grad})$, so lauten seine Eigenwerte analog zu IT:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}m \, = \, \sqrt{\, l(l+1)\, }\, \mu \quad \quad $}$$ (8.16)

Wir schreiben $m$ mit $L=\sqrt{l(l+1)\, }\, \hbar$ und dem sogenannten g-Faktor um und berücksichtigen wir, daß für Elektron $g_l=2$ beträgt, so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}m \, = \, g_l \, (\displaystyle\frac {e^-}{2 \, m_0}) \ L \quad \quad $}$$ (8.17)

Man bezeichnet sie auch mit $\mu_l$. Mit (8.8) das Bohr-Magneton erhalten wir für $\mu_l$:

$$\fbox{$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\mu_l \, = \, g_l \, \mu_B \, \sqrt{l(l+1)} \, = \, g_l \, \mu_B\, (\displaystyle\frac {L}{\hbar}) \quad \quad $}$$ (8.18)