Das magnetische Moment der IT

Wie bereits erwähnt, bilden wir das Integral des magnetischen Moments IT aus Invarianten $e$, $c$ und $dS$:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-M_{1k} \ = \ (\displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0})\, m_0\, c \displaystyle\int \limits dX_{1k} \ . \ U_{kj} \quad $}$$ (8.1)

Diese Gleichung ist bis auf den Faktor $(\displaystyle\frac {e^-}{m_0})$ dem Wirkungsintegral (4.29) identisch. Variieren wir diese Gleichung und integrieren sie partial, so finden wir analog:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta M_{1k} \ = \ (\displaystyle\... ...delta X_{1k} \ . \ \displaystyle\frac {\, d\, }{dS}(\, P_{kj}\, )\, dS \quad $}$$ (8.2)

Ähnlich wie bei dem Drehimpuls können wir das magnetische Moment, das wir hier mit $\mu$ bezeichnen schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\mu \partial_{1k}\ = \ (\displaysty... ...eft( (\displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0}) \ \hbar\right) \partial_{1k}\quad $}$$ (8.3)

Für die Invariante $\mu$ des magnetischen Momentes finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\mu \ = \ (\, \displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0}\, ) \, \hbar \quad \quad \quad $}$$ (8.4)

Für den ersten Term in (8.2) können wir analog zu dem Drehimpuls schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}M_{1k} \ = \ X_{1k} \ . \ \mu \partial_{jk}\quad \quad $}$$ (8.5)

deren Komponenten lauten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}M_{1k} \ = \ \mu \left(\, (\, -\disp... ...ial T}\vec{R}\, ) \, - \, (\, \vec{R} \times {\bf grad}\, ) \, \right) \quad $}$$

und nach Ausrechnung des skalaren Terms erhalten wir für $\vec{R}=Konstant$:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}M_{1k} \ = \ \left(\, -\mu\, \ , \ i... ...f grad} \, cT \, - \, \mu (\, \vec{R} \times {\bf grad}\, ) \, \right) \quad $}$$ (8.6)

Der letzte Term in der runden Klammer ist der Vektor des axialen magnetischen Moments. Der Betrag dieses Vektorprodukts ist gleich:

$$\left\Vert \mu (\, \vec{R} \times {\bf grad}\, ) \right\Vert^2 \ = \ \mu^2 (\, R^2 {\bf grad}^2 \, - \, (\, \vec{R} \, . \, {\bf grad} \, )^2 \, )$$

Das letztere Glied ist eine Konstante $({\bf div} \, R)$ und trägt nur zur Nullpunktverschiebung bei, so daß schließlich $\mu^2\, R^2\, \bf grad^2$ die Differentialgleichungen des magnetischen Moments darstellen. Wie wir später darauf zurückkommen werden, ist die Lösung dieser Differentialgleichung bis auf die Konstante $\mu$ die Differentialgleichung des Drehimpulses identisch. Bezeichnen wir mit $\vec{M} \, = \, \mu (\vec{R} \times {\bf grad})$, so lauten seine Eigenwerte:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}M \, = \, j \, \mu \, = \, (l+s) \, \mu \quad \quad $}$$ (8.7)

Für $l=0$ und $s=+\displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }$ finden wir das Bohr-Magneton $\mu_B\index{Bohr-Magneton}$:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\mu_B \, = \, (\displaystyle\frac {e^-}{m_0}) \ (\displaystyle\frac {\hbar}{2}) \quad \quad \quad $}$$ (8.8)

Man bezeichnet $M$ auch mit $\mu_s$ und führt einen sogenannten g-Faktor ein, wobei er für Elektron $g_s=2$ bertägt.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\mu_s \, = \, g_s \mu_B \, (l+s) \, = \, g_s\, \mu_B (\displaystyle\frac {j}{\hbar}) \quad\quad $}$$ (8.9)