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Wie bereits erwähnt, bilden wir das Integral des magnetischen Moments
IT aus Invarianten
,
und
:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-M_{1k} \ = \ (\displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0})\, m_0\, c \displaystyle\int \limits dX_{1k} \ . \ U_{kj} \quad $}$](IMG522.GIF) |
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(8.1) |
Diese Gleichung ist bis auf den Faktor
dem Wirkungsintegral
(4.29) identisch. Variieren wir diese Gleichung und integrieren sie partial, so
finden wir analog:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\delta M_{1k} \ = \ (\displaystyle\...
...delta X_{1k} \ . \ \displaystyle\frac {\, d\, }{dS}(\, P_{kj}\, )\, dS \quad $}$](IMG524.GIF) |
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(8.2) |
Ähnlich wie bei dem Drehimpuls können wir das magnetische Moment, das wir
hier mit
bezeichnen schreiben:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-\mu \partial_{1k}\ = \ (\displaysty...
...eft( (\displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0}) \ \hbar\right) \partial_{1k}\quad $}$](IMG525.GIF) |
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(8.3) |
Für die Invariante
des magnetischen Momentes finden wir:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\mu \ = \ (\, \displaystyle\frac {\, e^-\, }{m_0}\, ) \, \hbar \quad \quad \quad $}$](IMG526.GIF) |
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(8.4) |
Für den ersten Term in (8.2) können wir analog zu dem Drehimpuls schreiben:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}M_{1k} \ = \ X_{1k} \ . \ \mu \partial_{jk}\quad \quad $}$](IMG527.GIF) |
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(8.5) |
deren Komponenten lauten:
und nach Ausrechnung des skalaren Terms erhalten wir für
:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}M_{1k} \ = \ \left(\, -\mu\, \ , \ i...
...f grad} \, cT \, - \, \mu (\, \vec{R} \times {\bf grad}\, ) \, \right) \quad $}$](IMG530.GIF) |
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(8.6) |
Der letzte Term in der runden Klammer ist der Vektor des axialen magnetischen
Moments. Der Betrag dieses Vektorprodukts ist gleich:
Das letztere Glied ist eine
Konstante
und trägt nur zur Nullpunktverschiebung bei, so
daß schließlich
die Differentialgleichungen des magnetischen Moments darstellen. Wie wir später
darauf zurückkommen werden, ist die Lösung dieser Differentialgleichung
bis auf die Konstante
die Differentialgleichung des Drehimpulses identisch.
Bezeichnen wir mit
, so lauten
seine Eigenwerte:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}M \, = \, j \, \mu \, = \, (l+s) \, \mu \quad \quad $}$](IMG535.GIF) |
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(8.7) |
Für
und
finden wir das Bohr-Magneton
:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\mu_B \, = \, (\displaystyle\frac {e^-}{m_0}) \ (\displaystyle\frac {\hbar}{2}) \quad \quad \quad $}$](IMG539.GIF) |
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(8.8) |
Man bezeichnet
auch mit
und führt einen sogenannten g-Faktor
ein, wobei er für Elektron
bertägt.
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\mu_s \, = \, g_s \mu_B \, (l+s) \, = \, g_s\, \mu_B (\displaystyle\frac {j}{\hbar}) \quad\quad $}$](IMG543.GIF) |
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1999-07-07