Partielle Differentiale 1. Ordnung (ET)

Analog zu der Impulstheorie bildet der Vierergradient die Komponenten der Tensorgradienten.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ \displaystyle\frac {\partial}{\par... ...e\frac {\partial}{\partial y}, \displaystyle\frac {\partial}{\partial z})) \ $}$$ (2.61)

Aus Bequemlichkeitsgründen führen wir für die partielle Ableitungen nach den Koordinaten die Abkürzung

$${\partial}^j = \displaystyle\frac {\partial}{\partial x^j}$$ (2.62)

ein. Analog lässt sich die Matrix des Vierergradiententensors der Energieheorie darstellen:

$${\partial}^{jk} = \left( \begin{array}{llcl}i\displaystyle\frac {... ...l}{\partial x}& i\displaystyle\frac {\partial}{c \partial t}\end{array} \right)$$

Analog zur IT können wir für eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung wie die linke Seite vom Viererimpuls schreiben :

$$-\hbar (\partial^{j} \psi^*) \ = \ P^k$$

Analog zu der IT können wir hier schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\psi\ = \ \psi_0 \ e^{{\displaystyl... ...ystyle ( \displaystyle\frac {P\, ct \ - \ \vec{p} . \vec{r} }{\hbar} )}} \ \ $}$$ (2.63)

Die Funktion $\psi$ wird als die reelle Wellenfunktion bezeichnet. Aus Analogie zu der Impulstheorie wird die Aussage unterstrichen, daß die Differential eines Vierertensors ein Vierertensor ist. Die erste partielle Ableitungen eines beliebigen Vierertensors $a^{jk}$ ist dann invariant, wenn sie mit dem Vierertensor der Vierergeschwindigkeit der Energietheorie multipliziert wird.

$$\fbox{$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ d a^{jk} = ( \displaystyle\frac {\p... ...partial x^{jk}}a^{jk} ) \ d x^{jk} = ( \acute a^{jk} \ V^{jk} ) \ {ds}_j^k \ $}$$ (2.64)