Die Differentiale 2. Ordnung der (IT)

Der Quotient aus den infinitesimalen Vierergeschwindigkeitsvektoren und dem skalaren Abstand bilden die Ableitungen, die wir hier mit den Komponenten der Viererbeschleunigungstensor der Impulstheorie bezeichnen.

$$\fbox {$ w_j = \displaystyle\frac {d U_j}{dS} = \Bigg( i\ \displa... ...times \ \vec{g} \ )}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2}}} \ \Bigg) $}$$ (2.65)

$$\fbox {$ \vec{g} = \displaystyle\frac {\displaystyle\frac {\vec{n... ...{c}{u} \ \ , \ \acute{\alpha} = \displaystyle\frac {d\alpha}{dR} \ \ \ \ \ \ $}$$ (2.66)

Es ist zu erwähnen, daß der Vektor $\vec{u}$ bei der Ableitungen $$\frac {d\vec{u}}{dR}$$ Konstant zu halten ist.
Mit (2.46) erhalten wir für die reellen Zähler in (2.65) :

$$\vec{g} \ + \ \vec{t} \ \times \ ( \ \vec{t} \ \times \ \vec{g} \ ) \ = \ \vec{t} \ ( \vec{t} \ . \ \vec{g} )$$ (2.67)

Steht der Tangentialvektor $\vec{t}$ senkrecht auf dem Beschleunigungsvektor $\vec{g}$ , so verschwindet das Skalarprodukt in der Klammer. Somit verschwindet auch der imaginäre Teil dieses Vierervektors. Durch das Differenzieren vom Quadrat des Vierergeschwindigkeitstensors (2.42) erhält man:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}U_{jk} \ . \ w_{kj} \ + \ w_{jk} \ . \ U_{kj} \ = \ N_{jk} \ = \ N_{kj} $}$$ (2.68)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}U_{jk} \ . \ w_{kj} \ = \ - w_{jk} \ . \ U_{kj} $}$$ (2.69)