Die Differentiale 1. Ordnung (ET)

Analog zu der Impulstheorie bildet der Quotient aus dem infinitesimalen Viererortsvektor und dem skalaren Abstand der Vierergeschwindigkeit , die wir an dieser Stelle als das erste Differential des Viererortsvektors bezeichnen.

$$\fbox {$ \ V^{1k} = \displaystyle\frac {dx^j}{ds} = \displaystyle... ...\ \ \ \displaystyle\frac {d\vec{r}}{cdt} = \displaystyle\frac {\vec{v}}{c} \ $}$$ (2.52)

$$\fbox {$ \ V^{1k} = (\displaystyle\frac {1}{\sqrt{ 1 \ - \ \displ... ...aystyle\frac {\vec{v}}{c}}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}}) \ $}$$ (2.53)

Die Gleichung (2.53) ist die Komponente des Vierergeschwindigkeitstenors der Energietheorie. Mit $\vec{\beta} = (\displaystyle\frac {\vec{v}}{c})$ und analog zu der Impulstheorie hat seine Matrix die Form:

$$V^{jk} = \left( \begin{array}{llcl}\displaystyle\frac {1}{\sqrt{ ... ...\beta^2}} & \displaystyle\frac {1}{\sqrt{ 1 \ - \ \beta^2}} \end{array} \right)$$ (2.54)

Unter den Vierertensoren hat die Matrix der Vierergeschwindigkeitstensor $V^{jk}$ hat einen besonderen Stellenwert. Ihr Quadrat bildet der Einheitstensor ${\delta_j}^k$.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ V^{jk} \ . \ ( V^{jk} )^T = \ {\delta}_j^k \ $}$$ (2.55)

Analog zu der Impulstheorie geben wir die Komponenten dieses Tensors an.

$$\left( \displaystyle\frac { 1 -\beta^2 }{( 1 - \beta^2 )} \ , \ \... ...\beta} \times \vec{\beta}}{( 1 - \beta^2 )} ) \right) = ( 1 \ , \ \ \vec{0} \ )$$ (2.56)

Nun untersuchen wir in der Energietheorie das Distributivgesetz der Vierertensoren. Das Produkt aus einem beliebigen Tensor und dem Einheitstensor ist offenbar der Tensor selbst. Wir überprüfen diesen Sachverhalt an Hand von zwei Transformationen.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ ( V^{jk} \ . \ V^{kj} ) \ . \ x^{kj} = V^{jk} \ . \ ( V^{kj} \ . \ x^{kj} ) \ $}$$ (2.57)

Wie bereits gesehen ist der Klammerausdruck auf der linken Seite (2.57) gleich dem Einheitstensor. Auf der rechten Seite finden wir zwei Transformationen vor, die wir in zwei Schritten errechnen werden. Zur besseren Übersicht würde die Subsitution $\acute{x^{kj}} = ( V^{kj} . x^{kj} )$ eingeführt. Wir errechnen die erste Transformation und finden die Komponente des Klammerausdrucks:

$$\acute{x^{kj}} = \Bigg ( \displaystyle\frac {( ct \ + \ \displays... ...}{c} \times \vec{r}) }{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}} ) \Bigg )$$ (2.58)

Aus dem Produkt der Vierergschwindigkeit $V^{jk}$ mit der transformierten Viererortsmatrix $\acute{x^{kj}}$ entsteht die zweite Transformation, die den Viererortstensor in seiner Ausgangslage zurücktransformiert. Nach der Ausführung der zweiten Transformation finden wir unter Vernachlässigung einiger Glieder schießlich:

$$x^{k1} = \Bigg( ( \displaystyle\frac {ct \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^... ...{\vec{v}}{c} \times \vec{r} )}{( 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2} )} ) \ ,$$

$$(-i \displaystyle\frac {\vec{r}}{( 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^... ...ec{v}}{c} \times \vec{r} )}{( 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2} )} ) \Bigg)$$

Der Vergleich mit der linken Seite in (2.57) ergibt, daß in der ersten Klammer das Spatprodukt verschwindet und der Rest gleich $ct$ wird. in der zweiten Klammer ist der Ausdruck gleich -i$\vec{r}$. Der Vierervektor $x^{k1}$ ist bei diesen Transformationen unverändert geblieben.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ \vec{\beta} \ (\vec{\beta} \ . \ \... ... - \ \vec{\beta} \times ( \vec{\beta} \times \vec{r} ) = \beta^2 \ \vec{r} \ $}$$ (2.59)

Die bei den äquivalenten Transformationen entstehenden Vektorkomponenten haben die Form:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ {\bf grad } \ ( {\bf div} \ \vec{a} ) \ - \ {\bf rot} \ ( {\bf rot} \ \vec{a} ) = {\bf {grad}^2} \ \vec{a} \ $}$$ (2.60)

Auch hier sind die anderen Darstellungen von (2.60) nicht zulässig, da sonst die physikalische Inteperetationen zur Lichttheorie brüchig wird.