Infinitesimale Linienelement

Das Quadrat zweier infinitesimal benachbarter Viererortsvektoren wird in der Impulstheorie als Quadrat ihres Abstands bezeichnet.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ dS^2 = dR^2 \ - \ c^2 dT^2 \ $}$$ (2.26)

Unter der Berücksichtigung den Ausdruck: $$\frac{dR}{dT} = u$$ können wir für den Abstand schreiben:

$$\fbox {$ dS = dR \ \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac{c^2}{u^2}} $}$$ (2.27)

Analog bezeichnen wir das Quadrat zweier infinitesimal benachbarter Viererortsvektoren in der Energietheorie als Quadrat ihres Abstands.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}ds^2 = c^2 dt^2 \ - \ dr^2 $}$$ (2.28)

An dieser Stelle klammern wir $cdt$ aus und unter Berücksichtigung der Beziehung $$\frac{dr}{dt} = v$$ erhalten wir für den Abstand:

$$\fbox {$ ds = c dt \ \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac{v^2}{c^2}} $}$$ (2.29)

Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit bezüglich des dualen Abstands ist eine der meistbestätigten Erfahrungen unserer Zeit durch das Expriment. Aus diesem Sachverhalt folgt, daß der Abstand aus den dualen Bezugssystem gleich sein muß. Folglich:

$$\fbox {$ dR \ \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac{c^2}{u^2}} = c dt \ \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac{v^2}{c^2}} $}$$ (2.30)

Daraus schließen wir:

$$\fbox {$ \ \displaystyle\frac{dR}{c dt} = \pm 1 \ \ , \ \ \ u \ v = \pm c^2 \ $}$$ (2.31)

Der erste Therm in (2.31) stellt die Gleichheit der dualen Längen aus der Impuls und Energietheorie dar. Diese Erkenntnis hat die fundamentale Bedeutung für die Gleichheit des Impulsbetrags zu dem Energie, die wir seiner Zeit besprechen werden. In dem zweiten Term rechts erweist $c^2$ das doppellte Vorzeichen auf, von dem wir das negative vorerst verwerfen. Im Vakuum ist das Produkt $(u v)$ stets konstant. In der dualen Physik (Impuls + Energietheorie) kann ein Teilchen jeder Geschwindigkeit aus dem Interval $[0 \ , \ \infty]$ annehmen. Es liegt nahe zu glauben, daß die Teilchengeschwindigkeit unbegrenzt sei. Sie erstreckt sich zwar von Null bis zum unendlichen, die aber an der Stelle $u = v = c$ einen Sprung aufweist. solche Schlußfolgerungen erweisen sich als falsch. Richtig ist die Aussage daß die Geschwindigkeit $\vec{v}$ eines Teilchens oder auch Gruppengeschwindigkeit genannt alle Werte unterhalb der c-Barriere aus dem Interval $[0 \ , \ c]$ annimmt dagegen aber die Geschwindigkeit $\vec{u}$ die Phasengeschwindigkeit genannt alle Werte über die Lichgeschwindigkeitgerenze aus dem Interval $[c \ , \ \infty]$ annehmen kann. Die Gruppengeschwindigkeit und die Phasengeschwindigkeit werden als duale Geschwindigkeit der Materie oder Antimaterie bezeichnet, die uns häufiger beschäftigen werden.