Abstand in beliebigen Bezugssysteme

Die Vierervektoren der beliebigen Bezugssysteme für die Materie (Antimaterie) haben einen Komplexen Charakter. Gemäß (1.7) können wir schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}dZ_j^k \ = \ (d X_j) \ + \ (dx^k) \ \ $}\quad \mbox{f\uml {u}r} \ j=k$$ (2.32)

Im vorab kann man sagen, daß der Mittelwert aus dem Quadrat dieses komplexen Viererortsvektors dem Abstandquadrat $ds^2$ gleichkommen muß. Für das Quadrat des infinitesimalen Achterortsvektors (2.32) finden wir :

$$(dZ_j^k)^2 = ( c^2dt^2 - c^2dT^2 + i2 \ c^2 dt dT) \ + \ (dR^2 - dr^2 - i2 \ d\vec{R} . d\vec{r})$$ (2.33)

$$(dZ_j^k)^2 = c^2dt^2 ( 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2} )\ +... ...- \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2} )\ + \ i2 \ (c^2 dt dT - d\vec{R} . d\vec{r})$$

Unter der Berücksichtigung von (2.31) gilt :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(c^2 dt dT \ - \ d\vec{R} . d\vec{r}) \ = \ 0 \ \ \ \ $}$$ (2.34)

Die erhaltenen Restglieder lauten :

$$\fbox {$ \ 2 ds^2 \ = \ c^2 dt^2 ( 1 - \displaystyle\frac{v^2}{c^2}) \ + \ dR^2 ( 1 - \displaystyle\frac{c^2}{u^2}) \ $}$$ (2.35)

Analog kann man für die Antimaterie gemäß (1.9) schreiben:

$$(dR_j^k)^2 \ = \ ( c^2dt^2 + c^2dT^2 + 2 \ c^2 dt dT) \ + \ (dR^2 + dr^2 - 2 i\ d\vec{R} . d\vec{r})$$ (2.36)

$$(dR_j^k)^2 \ = \ c^2dt^2 ( 1 \ + \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2} ... ... + \ \displaystyle\frac {c^2}{u^2} )\ + \ 2 \ (c^2 dt dT - d\vec{R} . d\vec{r})$$

Unter der Berücksichtigung ($c^2=u\, v$) gilt:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(c^2 dt dT \ - \ d\vec{R} . d\vec{r}) \ = \ 0 \ \ \ \ $}$$ (2.37)

Die erhaltenen Restglieder lauten auch hier:

$$\fbox{$ \ 2 ds^2 \ = \ c^2 dt^2 ( \, 1 + \displaystyle\frac{v^2}{c^2}\, ) \ + \ dR^2 ( \, 1 + \displaystyle\frac{c^2}{u^2}\, ) \ $}$$ (2.38)