Die radiale Wellenfunktion

Die endgültige Form der radialen Differentialgleichung des gebundenen Teilchens mit dem Beitrag der Winkelfunktionen (10.65) lautet:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, \hbar^2(\displaystyle\frac ... ... l + s )^2 (\displaystyle\frac {\hbar}{r})^2\, \right) R_r = 2 p^2_{(r)} R_r $}$$ (13.12)

mit Hilfe von $p^2_{(r)}= (\displaystyle\frac {\hbar}{r})^2 (sl-\displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }s^2)$ (10.45)und $j=l+s, \, k=j+\displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }$ kann man diese Gleichung in seiner endgültigen Form schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, \hbar^2(\displaystyle\frac ... ...0 - (\, k^2-1\,) (\displaystyle\frac {\hbar}{r})^2\, \right)\, R_r \, = \, 0 $}$$ (13.13)

Wir werden diese Gleichung gemäss (4.43) linalisieren und führen zuerst genräll für das Term die potentielle Energie die Buchstabe V ein und spalten weiterhin die radialle Wellenfunktion in $R_r=R_{1r}R_{2r}$ auf.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\, \displaystyle\frac {d^2}{dr^2}+\... ...aystyle\frac {\, E\, }{c}- \displaystyle\frac {V}{c})^2 \, ) R_{1r}R_{2r} \, $}$$ (13.14)

Hieraus ergeben sich zwei linerare Differentialgleichungen unseres Eigenwertproblems:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\, \displaystyle\frac {\, d\, }{d r... ...}{r}\, ) R_{1r} \, = \, \displaystyle\frac {1}{\hbar c}(\, E-V+E_0\, )R_{2r} $}$$ (13.15)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\, \displaystyle\frac {\, d\, }{d r... ...r}\, ) R_{2r} \, = \, \displaystyle\frac {1}{\hbar c} (\, -E+V+E_0\, )R_{1r} $}$$ (13.16)

Für die kleine Geschwindigkeiten $v \ll c$ kann man aus (13.15) mit $E \approx E_0$ , $V \ll E_0$ die Übergang zu der sogennaten nichtrelativistischen Schrödinger Gleichung herleiten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}R_{2r} = \displaystyle\frac {\hbar}{... ...laystyle\frac {\, d\, }{d r}+ \displaystyle\frac {1+k}{r}\, )\, R_{1r} \quad $}$$ (13.17)

und beim einsetzen diese Gleichung in (13.16) und mit $E-V=W$ bzw. $k \gg 1$ findet man schließlich:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\displaystyle\frac {d^2}{dr^2}+\dis... ...m_0}{\hbar^2}(W-V)\, - \, \displaystyle\frac {k(k-1)}{r^2})\, R_{1r} = \ 0 \ $}$$ (13.18)

wobei k mit l zu identifizieren ist. Für $l>0$ gilt:

$$k\, = \, l+1$$ (13.19)

Wir interessieren uns aber zuerst für die asymptotischen Lösungen der linearisierten Differentialgleichungen (13.15) und (13.16) in Form

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}R_{1r} \, = \, {V_0}_1 \ e^{-\displa... ...2r} \, = \, {V_0}_2 \ e^{-\displaystyle (\displaystyle\frac {r}{r_0})} \quad $}$$ (13.20)

Für die Bestimmung der Größen ${V_0}_1$, ${V_0}_2$ und in Exponenten stehende Größe $r_0$ streichen wir in (13.15) und (13.16) alle Glieder mit $(\displaystyle\frac {1}{r})$ sowie $V$ und erhalten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {\, d\, }{d r}R_{1r} \, = \, \displaystyle\frac {1}{\hbar c}(\, E + E_0\, )R_{2r} $}$$ (13.21)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {\, d\, }{d r}R_{2r} \, = \, \displaystyle\frac {1}{\hbar c} (\, -E + E_0\, )R_{1r} $}$$ (13.22)

Nach Einsetzen der asymptotischen Lösungen in den beiden letzten Gleichungen finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-(\displaystyle\frac {1}{r_0})\, {V_0}_1 \, = \, \displaystyle\frac {1}{\hbar c} (\, E + E_0 \, ) \, {V_0}_2 \ $}$$ (13.23)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-(\displaystyle\frac {1}{r_0})\, {V_0}_2 \, = \, \displaystyle\frac {1}{\hbar c} (\, -E + E_0 \, ) \, {V_0}_1 \ $}$$ (13.24)

folglich finden wir für den Exponenten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\displaystyle\frac {1}{r_0}) \, = \, +\displaystyle\frac {\, \sqrt{\, E^2_0 \, - \, E^2\, }}{\hbar c} \quad $}$$ (13.25)

Nun benutzen wir als unabhängige Variable

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varrho \, = \, (\displaystyle\frac {r}{r_0}) \qquad $}$$ (13.26)

und rechnen an Stelle den asymptotischen, mit der exakten Lösungen

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}R_1 \, = \, V_1 \, e^{-\varrho} \quad \quad $}$$ (13.27)

so wie

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}R_2 \, = \, V_2 \, e^{-\varrho} \quad $}$$ (13.28)

weiter. Vorerst bezeichnen wir mit $\alpha$, die Feinstrukturkonstante ( A. Sommerfeld):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\alpha = \ \displaystyle\frac {e^2\,}{2\, \varepsilon_0 \, c\, h}\quad $}$$ (13.29)

Folglich erhalten wir unter dieser Einführung für die Gleichungen (13.15) und (13.16)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}V_1'+ (\, \displaystyle\frac {1-k}{\... ...pha Z}{\varrho} + \displaystyle\frac {E_0 + E}{\sqrt{E^2_0 - E^2}} \, )V_2 \ $}$$ (13.30)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}V_2'+ (\, \displaystyle\frac {1+k}{\... ...pha Z}{\varrho} + \displaystyle\frac {E_0 - E}{\sqrt{E^2_0 - E^2}} \, )V_1 \ $}$$ (13.31)

Für $V_1$ und $V_2$ machen wir folgenden Ansatz

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}V_1 \, = \, \varrho^\gamma \sum\limi... ...\, = \, \varrho^\gamma \sum\limits_{\nu=0}^\infty b_\nu \, \varrho^\nu \quad $}$$ (13.32)

Um die charakteristische Gleichung für den Exponenten im Nullpunkt zu finden, tragen wir $V_1$ und $V_2$ in (13.30) und (13.31) ein und vergleichen den Koeffizienten von $\varrho^{\gamma - 1}$ auf beiden Seiten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\gamma +1 -k)a_0 = \alpha Z b_0\, , \ \, (\gamma +1 +k)b_0 = -\alpha Z a_0 \ $}$$ (13.33)

Nun leiten wir die Relinearisierung ein und multiplizieren die beide Gleichungen, so finden wir die quadratische Form:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\, \gamma + 1\, )^2 \, - \, k^2 \, = \, -\alpha^2 Z^2 \ $}$$ (13.34)

und schließlich erhalten wir für die Wahl des positiven Vorzeichens:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\gamma + 1 \, = \, + \, \sqrt{\, k^2 \, - \, \alpha^2 Z^2 \, } \quad $}$$ (13.35)

Nun werden wir für $a_\nu$, $b_\nu$ die zugehörige Rekursionformel ermitteln. Dazu werden wir die Koeffizienten der Potenz $\varrho^{\gamma + \nu - 1}$ in den Gleichungen (13.30) und (13.31) in beiden Seiten einander gleichsetzen. Führen wir für $$\frac {E}{E_0}=\beta$$ ein, so gilt offenbar die Beziehung:

$$\sqrt{\displaystyle\frac {1+\beta}{1-\beta}} \, = \, \displaystyl... ...beta}{1+\beta}} \, = \, \displaystyle\frac {1-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} = w^{-1}$$ (13.36)

Nun ordnen wir die $a_\nu, b_\nu$ in wachsender Richtung von $\nu$ ein

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}a_{\nu-1} \, + \, w\, b_{\nu-1} \, = \, (\gamma + \nu + 1 - k)a_\nu \, - \, \alpha Z \, b_\nu \quad $}$$ (13.37)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}w^{-1}\, a_{\nu-1} \, + \, b_{\nu-1} \, = \, (\gamma + \nu + 1 + k )b_\nu \, + \, \alpha Z \, a_\nu \quad $}$$ (13.38)

Multiplizieren wir die zweite Gleichung (13.38) mit $-w$ und addieren sie zu der ersten (13.38), so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {a_\nu}{b_\nu} \,... ...\gamma + \nu + 1 + k\, )}{(\, \gamma + \nu + 1 - k\, ) - w\, \alpha Z} \quad $}$$ (13.39)

Diese ist eine Verhältnisgleichung mit zwei Unbekannten $a_\nu$ und $b_\nu$, die wir so nicht ohne weiters lösen können. Die zweite Verhältnisgleichung hierzu gewinnen wir, in dem wir die linken Seiten von (13.37) und (13.38) einzeln zu verschwinden brinngen und $\nu$ durch $\nu+1$ ersetzen.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {a_{\nu-1}}{b_{\n... ...u + 1}) \quad (\displaystyle\frac {a_{\nu}}{b_{\nu}}) \, = \, -w \quad \quad $}$$ (13.40)

Diese beiden letzten Beziehungen (13.39) und (13.40) erfüllen die Bedingung zum abberechen der Potenzreihen (13.32) bei dem $n_r - ten$ Glied. Hieraus folgt:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\gamma + 1 + n_r + k + (\displaystyle\frac {\alpha Z}{w}) + \gamma + 1 + n_r - k - w\, \alpha Z \, = \, 0 \quad $}$$ (13.41)

Führen wir für $(\gamma + 1)$ die äquivalente Beziehung (13.35) ein und ziehen die $\alpha$ - Werte zusammen, so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}n_r + \sqrt{k^2 - \alpha^2 Z^2} \, =... ...laystyle\frac {1}{\, 2 \, }\alpha Z (\, w - \displaystyle\frac {1}{w}) \quad $}$$ (13.42)

Für die runde Klammer in der rechten Seite erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {1+\beta}{\sqrt{1... ...sqrt{1-\beta^2}} \, = \, 2 \, \displaystyle\frac {1}{\sqrt{\beta^2-1}} \quad $}$$ (13.43)

Quadrieren wir nun (13.42) und stellen wir die Gleichung nach $\beta=(\displaystyle\frac {E}{E_0})$ um, so ergibt sich:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\displaystyle\frac {E}{E_0})^2 \, =... ...ha^2 Z^2}{(n_r + \sqrt{\, k^2 \, - \, \alpha^2 Z^2\, })^2}\right)^{-1} \quad $}$$ (13.44)

Nun werden wir die radiale Quantenzahl $n_r$ in Hauptquantenzahl $n$ umschreiben.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}n \, = \, n_r + (\, j+\displaystyle\... ... l+s \quad \mbox{und} \quad k\, = \, j+\displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }\quad $}$$ (13.45)

Nach Wurzelziehen auf beiden Seiten in (13.44) erhalten wir für die Atomhülle die sogenannte Feinstruktur Formel:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}E_{nj} \, = \, E_0 \, \left( \, 1 \,... ... {1}{\, 2 \, })^2 \, - \, \alpha^2 Z^2}\, \right)^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \ $}$$ (13.46)

Dabei nehmen die zwei Quantenzahlen folgende Werte an.

$$n=1, 2, 3, . . . . \quad, \quad 0\le j+\displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }\le n \quad , \quad \mbox{mit Einschr\uml {a}nkung} \quad 0\le l \le n-1$$ (13.47)

Entwickeln wir (13.46) nach Potenzen von $(Z\alpha)^2$, so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}E_{nj} \, = \, E_0 \left\{ 1-\displa... ...isplaystyle\frac {3}{4n}\right)\right] + 0 \, ((Z\alpha)^6) \, \right\}\quad $}$$ (13.48)

Die Beziehung (13.46) war bei den Beobachtungen am H-Atom bis zur Mitte unseres Jahrhunderts zufriedenstellend. Lamb und Retherford bestätigten $1947$ mit den Messungen der Feinstruktur des H-Atoms eine Verschiebung des $2\ ^2S_{1/2}$ Niveaus nach oben gegenüber den $2\ ^2P_{1/2}$ Linien. Offenbar fällt in (13.48) der Feinstruktur-Term (die rechteckige Klammer) größer aus als im Experiment der Fall ist. Diese Größenordnung liegt bei etwa $(Z\alpha)^2\, > \, Z^2\alpha^2(1\, - \, \alpha)^2$ Der zweite Term ist aus der resultierenden potentiellen Energie $(V_{(r)}-\beta V_{(r)})$ in (7.29) entstanden. Wir ergänzen den $-\alpha$-Wert in diesem Term mit dem Elektronenspin $\frac{1}{2}$, den wir mit der Hilfsgröße $\kappa$ bezeichnen. Unter Vernachlässigung der runden Klammer in (13.48) sagt die Theorie eine Abhängigkeit der Lamb-Shift $\triangle E_{LS} \sim Z^4/n^3$ voraus, die auch für die normale Feinstruktur-Aufspaltung gültig ist. Die resultierende Energieverschiebung ist demnach:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\triangle E_{LS} \, = \, \left(2\, \... ... \alpha^2}{n^3}\right) \ \displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }\, E_0 \ \alpha^2 \ $}$$ (13.49)

Die typischen Werte sind $Z=1, \ n\, =\, 2, \$ und $\, l= 0$. Diese positive Energie erklärt die Verschiebung der $2\ ^2S_{1/2}$ Linien des Wasserstoffatoms nach oben gegenüber des $2\ ^2P_{1/2}$ Niveaus.