Die 2. Teilchen-Gleichungen der Impulstheorie

Wir errechnen nun die linke Seite von (6.2) und vergleichen die Resultate mit der rechten Seite. Für seine Komponente erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\partial_{1k}\ . \ \acute{A_{kj}} \ ... ...k} \ . \ ( \acute{A_{2j}} \ , \ \acute{A_{3j}} \ , \ \acute{A_{4j}} )) \quad $}$$ (6.9)

Für die Viererdivergenz finden wir :

$$i\displaystyle\frac {\partial}{c \partial T}(-\displaystyle\frac ... ...}_{(R)} + {\vec{D^+}}_{(cT)}) - {\bf div}(\displaystyle\frac {\vec{H}^+}{c}) \$$ (6.10)

Zunächst ordnen wir zur besseren Übersicht diese Beziehung um in zwei Gruppen. Die erste Gruppe bleibt erhalten und sie ist ungleich null:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-i((\displaystyle\frac {\partial}{c \partial T})^2 \phi^- + {\bf div}\vec{D^-}_{(R)}) \qquad $}$$ (6.11)

In der zweiten Gruppe gleichen sich, jeweils der zweite Term in den runden Klammern in (6.10) die div der zeitlichen Komponenten der dielektrischen Verschiebung und die zeitliche Änderung des Skalars div$\vec{A}$ aus. Übrig bleibt die physikaliche Aussage des letzten Gliedes div( $$\frac {\vec{H}^+}{c}$$), die wir später abhandeln werden.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}-i(\displaystyle\frac {\partial}{c \... ...frac {\vec{A}^+}{c})) - {\bf div}(\displaystyle\frac {\vec{H}^+}{c}) \ = 0 \ $}$$ (6.12)

Für die Viererrotation erhalten wir :

$$-\displaystyle\frac {\partial}{c \partial T}\vec{D} + \displaysty... ...{\vec{A}^+}{c}) + {\bf rot}\vec{D} + {\bf rot}\displaystyle\frac {\vec{H}^+}{c}$$ (6.13)

Ähnlich wie bei der Viererdivergenz unterteilen wir die Glieder von (6.13) in zwei Gruppen. Nach der Aufspaltung des Verschiebungsvektors kann man für das erste und dritte Glied in (6.13) schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {\partial}{c \par... ...f grad}\displaystyle\frac {\partial}{c \partial T}\phi^- \ = \ \vec{0} \quad $}$$ (6.14)

Die zeitliche Änderung der dielektrischen Verschiebung ist der Gradient der zeitlichen Änderung des Skalars $\phi^-$ entgegengerichtet. Einen weiteren Nullvektor erhalten wir aus dem zweiten und fünften Glied in (6.13) :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {\partial}{c \par... ...partial}{c \partial T}\displaystyle\frac {\vec{A}^+}{c}) \ = \ \vec{0} \quad $}$$ (6.15)

Die Beziehungen (6.12), (6.14) und (6.15) bilden die Komponenten des Nulltensors. Unter der Vernachlässigung der runden Klammer in (6.12) und die (6.14) finden wir für seine Komponente :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Big( -{\bf div}(\displaystyle\frac ... ...e\frac {\vec{H}^+}{c}+ {\bf rot}\vec{D}) \Big) = ( \ 0 \ , \ \ \vec{0} \ ) \ $}$$ (6.16)

Aus dem Prinzip des maximalen Aufwands (die geschloßene Feldlinien) schließen wir, daß die magnetische Feldstärke $\vec{H^+}$ Quellfrei ist und daher die Divergenz vom $\vec{H^+}$ verschwindet. Außerdem verschwindet die Rotation des Verschiebungsvektors $\vec{D^-}_{(R)}$. Somit gilt als letztes:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}{\bf rot \ grad} \ \phi^- \ = \ \vec{0} \ \qquad $}$$ (6.17)

Mit (6.11) und der Restglieder in (6.13) lautet die Komponente dieses Tensors:

$$\fbox {$ \begin{array}{rcl}\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Big(-i(\displays... ... {\bf rot}(\displaystyle\frac {\vec{H}^+}{c})\Big) \end{array} \qquad \qquad $}$$ (6.18)

Aus dem Vergleich mit der rechten Seite von (6.2) fnden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}- {\bf grad} \ (\, {\bf div}\display... ...A}^+}{c}\, ) \ = \ - {\bf grad}^2 (\displaystyle\frac {\vec{A}^+}{c}) \qquad $}$$ (6.19)

Die Dimension von (6.18) wie man entnehmen kann, ist Ladung pro Volumen. Sie wird daher als die Viererdichte bezeichnet. Wir gehen grundsätzlich davon aus, daß von den Volumen eingeschloßene Ladung elektrostatischen Ursprung hat. Um die üblichen Maxwellschen Gleichungen zu erhalten, müßen wir die Viererdivergenz (6.4) als Konstant annehmen. Folglich verschwinden alle seine Ableitungen. Die Komponente dieses Nulltensors aus (6.18) lautet:

$$\fbox {$ \rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Big(-i(\displaystyle\frac {\partia... ...isplaystyle\frac {\vec{A}^+}{c})\Big) \ = \ (\, 0 \ , \ \ \vec{0}\, ) \qquad $}$$ (6.20)

Führen wir die Bezeichnung $J_{jk}$ für das Tensor der Viererdichte ein und unter der Berücksichtigung von (6.16) und (6.20) erhalten wir die berühmte Maxwellsche Gleichungen:

$$\fbox {$ \rule[-4mm]{0cm}{1cm}J_{k1} \ = \ \Big(-i{\bf div}\vec{D... ...T}\vec{D^+}_{(cT)} + {\bf rot} (\displaystyle\frac {\vec{H}^+}{c}\, )\Big) \ $}$$

Diese Annahme wie man aus dem Vergleich mit der rechten Seite von (6.2) entnehmen kann ist nicht zuläßig. Die vollständige Gleichung lautet:

$$\fbox {$ \rule[-4mm]{0cm}{1cm}J_{k1} = \Big(-i(\displaystyle\frac... ...ec{D^+}_{(cT)} - {\bf grad}^2 (\displaystyle\frac {\vec{A}^+}{c}\, )\Big) \, $}$$ (6.21)

Für die symbolische Darstellung der Viererdichte schreiben wir vorerst:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}J_{k1} \ = \ \alpha ( \ -i{\varrho^-... ...vec{R})}\ , \ \ \displaystyle\frac {{\vec{J}^+}_{(cT,\vec{R})}}{c}\ ) \qquad $}$$ (6.22)

Die von dem Volumen $V$ eingeschloßene Elementarladung ($e^-$) ist offenbar nach dem Gesetz (4.68) räumlich verteilt.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varrho^-_{(cT,\vec{R})} \ = \ {\var... ...\{ \displaystyle\frac { P \ cT \ - \ \vec{P} . \vec{R} }{\hbar} \right\} \ \ $}$$ (6.23)

Analog finden wir für das positive Elementarteilchen ($e^+$) :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\varrho^+_{(cT,\vec{R})} \ = \ {\var... ...\{ \displaystyle\frac { P \ cT \ - \ \vec{P} . \vec{R} }{\hbar} \right\} \ \ $}$$