Echte axiale Vierervektoren

Die Vierervektoren, die sich nur in ihren skalaren Komponeneten spiegeln lassen, nennen wir die echten Axialvierervektoren. Als solchen Vektor kann man den Hyperflächenvierervektor bezeichnen. Für seine Komponenten in der Impulstheorie können wir schreiben :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}dF_{1k} = ( \ idV \ , \ \ cdT \ d\vec{F} \ ) \ \ \ $}$$ (3.11)

$dV$ ist das Volumen und $d\vec{F}$ das Flächenelment der Impulstheorie. Seine transponierte Komponente lautet :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}( dF_{1k} )^* = ( \ -idV \ , \ \ cdT \ d\vec{F} \ ) \ \ \ $}$$ (3.12)

Die Komponente des Hyperflächenvierervektors kann man aus der unteren Beziehung

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}i\displaystyle\int \limits d\Omega_k... ... . \ J_{jk} \ = \ \displaystyle\int \limits dF_{jk} \ . \ J_{jk} \ \ \ \ \ \ $}$$ (3.13)

oder

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}id\Omega_j^k \displaystyle\frac {\partial}{\partial X_{kj}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $}$$ (3.14)

gewinnen. Der Vierervektor $d\Omega_j^k \ bzw. \ d\Omega_k^j$ ist das Vierervolumenelement der Impulstheorie. Analog zu den Hyperflächenvierervektoren der Impulstheorie können wir nun die der Energietheorie zugehörigen Gleichungen angeben.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}df^{1k} = ( \ dv \ , \ \ icdt \ d\vec{f} \ ) \ \ \ $}$$ (3.15)

Mit $dv$ das Volumen und $d\vec{f}$ das Flächenelement der Energietheorie lautet seine transponierte Komponente :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}( df^{1k} )^* = ( \ -dv \ , \ \ icdt \ d\vec{f} \ ) \ \ \ $}$$ (3.16)

Analog zu IT kann man aus den Ableitungen des Vierervolumenelements diese Beziehungen der ET gewinnen :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}i\displaystyle\int \limits d\omega_k... ... \ \j^{jk} \ = \ \displaystyle\int \limits df^{jk} \ . \ \j^{jk} \ \ \ \ \ \ $}$$ (3.17)

oder mit transponierten Komponenten

$$\fbox{$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}id\omega_j^k \displaystyle\frac {\partial}{\partial x^{kj}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $}$$ (3.18)