Die Skalarspiegelung (ET)

Das Tensorprodukt in der Energietheorie ist unter der Skalarspiegelung durch die Beziehungen :

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(dx^{jk}) \ . \ (dx^{jk})^* = (dx^j)... ...ta}^j_k \ \ \ \ \ \ \ mit \ \ (dx^{jk})^* = {\delta}^j_k \ \ dx^{kj} \ \ \ \ $}$$ (3.6)

gegeben. Die transponierte Matrix wird durch (* - Zeichen) von der Normalform unterschieden. In der Skalarspiegelung unterscheidet sich der Einheitstensor ( die rechte Seite von (3.6) ) von dem Einheitstensor der Vektorspiegelung (2.22) durch das negative Vorzeichen.

$$\fbox {$ \delta_k^j = \left\{ \begin{array}{r@{\quad : \quad}l} 0 & j\not= k \ \ \ \ \\ -1 & j = k \end{array} \right.\ $}$$ (3.7)

Die Folge ist, daß die Komponentenbeträge dieser Vierertensoren imaginänrer Natur sind. Erwähnenswert ist der Abstand, der nicht mehr reell bleibt. Die Komponenten der Vierergeschwindigkeiten werden durch diesen neuen Skalar verändert. Sie sind bis auf den Faktor $(-i)$ der Vierergeschwindigkeit den Vektorspiegelungen identisch. Ihre Viererbeschleunigungen dagegen stimmen bis auf den Faktor $((-i)^2 = -1)$ überein. Wir bezeichnen mit $d\widehat{s}$ den neuen Abstand und schreiben :

$$\fbox {$ d\widehat{s} = i ds \ \ \ \ oder \ \ \ \ d\widehat{s} = i cdt \ \sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac{v^2}{c^2}} $}$$ (3.8)

Analog können wir für die Vierergeschwindigkeit $\widehat{V}^{1k}$ schreiben :

$$\fbox {$ \widehat{V}^{1k} = -i V^{1k} \ \ \ \ oder \ \ \ \ \wideh... ...aystyle\frac {\vec{v}}{c}}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}}) \ $}$$ (3.9)

Der Viererbeschleunigungsvektor $\widehat{w}^j$ lautet nun :

$$\fbox {$ \widehat{w}^j = -\displaystyle\frac {d V^j}{ds} = -\Bigg... ...times \ \vec{b} \ )}{\sqrt{ 1 \ - \ \displaystyle\frac {v^2}{c^2}}} \ \Bigg) $}$$ (3.10)