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Der Viererimpuls des gebundenen Teilchens läßt sich aus der Addition des
mechanischen und elektromagnetischen Viererimpulses der IT gewinnen.
Unter der Berücksichtigung von
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Psi = \Psi_0 \, {\bf exp} \left\{ \...
...ystyle\frac {\, \varepsilon\, }{c}) cT + \vec{P} . \vec{R} }{\hbar} \right\} $}$](IMG835.GIF) |
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(12.1) |
und
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}e_m = e^- \ R_V \quad , \quad \vec{P...
...c{A}^+}{c}\quad , \quad e_m \phi^- = \displaystyle\frac {v^-_{(R)}}{c} \quad $}$](IMG836.GIF) |
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(12.2) |
erhält man die Differentialgleichung des gebundenen Teilchens:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, i(-\hbar\displaystyle\frac...
...ight) \Psi^* \Psi \ = \ \left( \, ip \ , \ \vec{P}\, \right) \Psi^* \Psi \ $}\ $](IMG837.GIF) |
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(12.3) |
Nach eliminieren der zeitlichen Gradienten mit
erhahten wir:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, i(\displaystyle\frac {\, \...
...f grad} - \vec{P}_m) \, \right) \ = \ \left( \, ip \ , \ \vec{P}\, \right) \ $}$](IMG838.GIF) |
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(12.4) |
Offenbar ist das zweifache Tensorprodukt
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(12.5) |
gleich dem Einheitstensor. Die Klammerausdrücke bilden neue Vierertensoren, die
bei der Problemstellung diskreter Zustände ihre Anwendung finden. Bilden wir
das äquivalente Tensorprodukt mit der Beziehung (12.4), so finden wir für seine
linke Seite:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, (\displaystyle\frac {\, \v...
... \displaystyle\frac {v^-_{(R)}}{c}) (\hbar{\bf grad} - \vec{P}_m)\,\right) \ $}$](IMG840.GIF) |
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(12.6) |
äquivalente Komponente finden wir für die rechte Seite von (11.4):
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( (\, p^2 \ + \ P^2 \, ) \ , \ \ (\, i2\, p\, \vec{P}\, )\right) \quad $}$](IMG841.GIF) |
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(12.7) |
Aus dem Vergleich der Gleichungen in (12.6) und (12.7) schließen wir auf die
skalare
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, (\displaystyle\frac {\, \v...
... \ (\hbar{\bf grad} - \vec{P}_m)^2\right) \ = \ (\, p^2 \ + \ P^2 \, ) \quad $}$](IMG842.GIF) |
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(12.8) |
und Vektorkomponenten
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, i2\, p\, \vec{P}\, \right)...
...displaystyle\frac {v^-_{(R)}}{c}) (\hbar{\bf grad} - \vec{P}_m)\right) \quad $}$](IMG843.GIF) |
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(12.9) |
Wir intressieren uns für die skalare Komponetene dieses Tensorprodukts.
Addieren wir auf beiden Seiten von (12.8)
hinzu, so können wir
mit
die rechte Seite in
umschreiben. Anschließend
multiplizieren wir beiden Seiten der Gleichung mit
, so erhalten wir die
Wellengleichung:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, (\hbar{\bf grad} - \vec{P}_...
...le\frac {v^-_{(R)}}{c})^2 \ + \ P^2_0 \, \right)\, \Psi \ = \ 2\, P^2\, \Psi $}$](IMG847.GIF) |
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(12.10) |
Für den stationären Zustand der Wellengleichung, also das Verschwinden aller
Zeitabhängigen Glieder
erhalten wir:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, (\hbar{\bf grad} )^2 \ + \ ...
...c {v^-_{(R)}}{c})^2 \ + \ P^2_0 \, \right)\, \Psi \ = \ 2\, P^2_{(R)}\, \Psi $}$](IMG849.GIF) |
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(12.11) |
Für die reelllen Eigenwerte dieser Beziehung finden wir die Gleichung des
Spinors, die wir im vorigen Abschnitt abgeleitet und behandelt haben. Wir erhalten:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\, \hbar^2 \, {\bf grad}^2 \, + \, ...
...repsilon\, }{c}\, )^2 \ + \ P_0^2\, )\, )\, \Psi \ = \ 2\, P^2 \, \Psi \quad $}$](IMG850.GIF) |
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(12.12) |
übereinstimmend mit (9.2). Mit
lauten seine Eigenwerte:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P^2= \, (\, l\, + \, s\, )^2 \ (\displaystyle\frac {\hbar}{R})^2 \quad $}$](IMG852.GIF) |
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(12.13) |
Mit diesem Ergebnis schließen wir die Eigenwertbehandlung der IT und
befassen wir uns mit der Eigenwertproblematik der ET.
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1999-07-07