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Der Rotator in der ET
Wir ermitteln nun die Eigenwerte von
in der Differentialgleichung (10.3). Zuerst separieren wir die Funktion
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\psi \ = \ \psi_0 \ {\sf exp} \left\...
...isplaystyle\frac {\, p_{(\varphi)}r\, sin(\vartheta)\varphi }{\hbar}\right\} $}$](IMG752.GIF) |
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(10.38) |
und setzen
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\psi \ = \ R_{(r)} \ . \ \theta_{(\vartheta)} \ . \ \phi_{(\varphi)} \qquad $}$](IMG753.GIF) |
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(10.39) |
Für den periodischen Exponent von
schreiben wir:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}p_{(\varphi)} \, r\, sin(\vartheta) \ = \ m\, \hbar \quad \quad $}$](IMG755.GIF) |
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(10.40) |
für
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}p_{(\vartheta)} \, r \ = \ s \, \hbar \quad \quad $}$](IMG757.GIF) |
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(10.41) |
und für
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}p_{(r)} \, r \, \ = \ j\, \hbar \quad \quad \quad $}$](IMG759.GIF) |
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(10.42) |
Wir führen eine zweite Variabel
ein und schreiben vorerst für
und
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}j \, = \, (l\, + \, s) \quad \quad $...
...}L= \, \sqrt{\, ls \, - (\displaystyle\frac {s^2}{2})\,\,} \quad \quad \quad $}$](IMG762.GIF) |
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(10.43) |
Wobei
ganze Zahl,
ebenfalls ganze Zahl
und
ist.
Der radiale Anteil der Wellengleichung ist unabhängig von
den
bzw.
Werten, aber wohl abhängig von dem gemischten
Produkt
.
Die rechte Seite von (10.3) ist proportional zu
.
Ähnlich wie in IT wird hier der Term
auf den
radialen Anteil symetrisch verteilt. Zu radialem Anteil
entfällt der Beitrag
.
Für
wird
imaginär und damit ein Hinweis, daß dieser L-Wert
einer Erhaltungsgröße der IT ist. Außerdem ist Dieses
-Term eine
notwendige Bedingung für ein gebundenes Teilchen.
Der Eigenwert dieser Differentialgleichung hat bei
sein
Minimum und führt zu den sogenannten
Rotator Gleichungen. Für die drei Funktionen
in (10.39)
erhalten wir:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}R_{(r)} = \ \psi_0 \, {\bf exp}\left...
...{und} \ \theta_{(\vartheta)} = \ {\sf exp}\left\{ - s \, \vartheta\right\} \ $}$](IMG771.GIF) |
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(10.44) |
Mit (10.40), (10.41) und (10.42) schreiben wir die rechte Seite von (10.3) um und erhalten
jeweils für
und
:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}p^2_{(r)}= \, (\, sl\, - \, \display...
...= \, (\, m^2\, )\, \displaystyle\frac {\hbar^2}{r^2\, sin(\vartheta)^2}\quad $}$](IMG774.GIF) |
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(10.45) |
Da wir uns für die Eigenwerte des Eigendrehimpulses interessieren, ist
der radiale Anteil der Wellengleichung (10.37) gleich Null zu setzen
.
Mit (10.37)
und
schreiben wir (9.3) um und erhalten wir die Differentialgleichung der
Kugelfunktionen:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar^2 \displaystyle\frac {1}{sin(\...
...tial \varphi})^2 \psi + p^2\psi = 2\, (p_{(\vartheta,\varphi)})^2 \psi \quad $}$](IMG777.GIF) |
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(10.46) |
Da
in (10.46) nicht explizite vorkommt, kann man den
abhängigen Differntialterm integrieren.
Die
Komponente rechnen wir mit Hilfe von (10.40)
um und bringen sie schließlich auf die linke Seite
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar^2 \displaystyle\frac {1}{sin(\...
...c {m^2}{r^2\, sin(\vartheta)^2}\, ) \theta \ = \ 2 \, (p_\vartheta)^2 \theta $}$](IMG779.GIF) |
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(10.47) |
Der Eigenwert dieser Differentialgleichung hat für
einen
optimalen Wert.
findet man äquivalent zu
aus der
Beziehung:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}2\, (p_\vartheta)^2 \ = \ s^2\, \displaystyle\frac {\hbar^2}{\, r^2\, } \quad \quad $}$](IMG783.GIF) |
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(10.48) |
Setezn wir (10.48) in der linken Seite von (10.47) ein und multiplizieren wir
diese Gleichung mit
, so können wir für seinen Eigenwert
schreiben:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \displaystyle\frac {\, p^2}{\...
...rac {s^2}{r^2}\, \right) \ = \ \displaystyle\frac {\lambda}{r^2} \quad \quad $}$](IMG784.GIF) |
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(10.49) |
und damit geht (10.47) über in
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {1}{sin(\vartheta...
... \ \displaystyle\frac {m^2}{r^2\, sin(\vartheta)^2}\, ) \theta \ = \ 0 \quad $}$](IMG785.GIF) |
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(10.50) |
Wir führen
als unabhängige Variabel ein und betrachten
als Funktion von
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(10.51) |
dann wird aus (10.50)
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(1\, - \, \xi^2)\theta'' \, - \, 2\x...
... \, \displaystyle\frac {m^2}{(1\, - \, \xi^2)}\, \right)\theta \ = \ 0 \quad $}$](IMG788.GIF) |
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(10.52) |
Wir untersuchen nun das Verhalten der Lösung von
in der Nähe der
singulären Punkte
. Wir führen die neuen Variable
und
ein und wenden uns zuerst dem Punkt
zu und erhalten:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\theta''\, + \, \displaystyle\frac {...
...\, + \, \displaystyle\frac {m^2}{(z)^2\, (2+z)^2}\, \right)\, \theta \ = \ 0 $}$](IMG793.GIF) |
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(10.53) |
Zur Lösung dieser Differentialgleichung setzen wir
in Form einer
Potenzreihe ein. Wobei sich
partial aus
und die Reihe
zusammensetzt.
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\theta= \, (\, z^{\alpha} \, )\, v \ \ \ , \ v= a_0+a_1\, z+a_2\, z^2+...+a_\nu\, z^\nu +..\ $}$](IMG795.GIF) |
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(10.54) |
Bei der Bestimmung der charkteristischen Gleichung geht die Potenzreihe
in den Berechnungen ein
. Tragen wir (10.54) in der linken Seite von
(10.53) ein und bilden den Faktor von
, so finden
wir:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, \alpha(\alpha\, - \, 1) \, + \, \alpha \, - \, \displaystyle\frac {m^2}{4}\, \right) \, a_0 \ = \ 0 \quad $}$](IMG799.GIF) |
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(10.55) |
Für
erhalten wir:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\alpha = \ \pm \displaystyle\frac {m}{2} \quad\quad\quad $}$](IMG669.GIF) |
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(10.56) |
Den gleichen Wert für
erhält man, falls man sich dem zweiten singulären
Punkt
zuwendet. Da die Lösung unseres Problems endlich sein soll,
wählen wir das positive Vorzeichen
. Nun können
wir (10.54) wie folgt darstellen:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\theta= \, (\, 1\, - \, \xi^2\, )^{\displaystyle\frac {m}{2}} \, \ v \quad $}$](IMG801.GIF) |
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(10.57) |
wobei
jetzt zweckmäßigerweise eine Potenzreihe von
und nicht mehr von
zu nehmen ist.
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}v \, = \, \sum\limits_{\nu = 0}^{\infty}\, a_\nu \, \xi^\nu \quad \quad \quad $}$](IMG803.GIF) |
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(10.58) |
Setzen wir (10.57) in (10.52) ein, so finden wir:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(1\, -\, \xi^2)\, v'' \, - \, 2(m\, + \, 1)\, \xi\, v' \, + \, (\lambda \, - \, m \, - \, m^2)\, v \ = \ 0 \quad $}$](IMG804.GIF) |
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(10.59) |
Die Integration dieser Gleichung erfolgt mittels Potenzreihe (10.58). Nach
Eintragen in die Differentialgleichung erhalten wir die Rekursionsformel zur
Bestimmung der Koeffizienten
.
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}((\nu\, + \, 2)\, (\nu\, + \, 1))\ a...
..., + \, 2(m \, + \, 1)\, \nu \, - \, \lambda\, + \, m \, + \, m^2\, )\, a_\nu $}$](IMG806.GIF) |
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(10.60) |
Die Reihe (10.58) wird für
ein Polynom k-ten Grades und somit
verschwinden alle Koeffizienten von
,
. Die Reihe kann
nur dann abbrechen, falls
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ (\, k \, (k \, - \, 1)\, + \, 2(m \, + \, 1)\, k \, - \, \lambda\, + \, m \, + \, m^2\, )\, a_k \ = \ 0 \quad $}$](IMG809.GIF) |
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(10.61) |
gesetzt wird. Daraus folgt:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ \lambda \ = \ (\, k \, + \, m\, )\, (\, k \, + \, m \, + \, 1\, )\, \quad $}$](IMG810.GIF) |
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(10.62) |
setzen wir für
ein, so finden wir für
:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\lambda \ = \ l\, (\, l\, + \, 1\, ) \quad \quad \quad $}$](IMG811.GIF) |
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(10.63) |
Nun können wir für (10.49) schreiben:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, \displaystyle\frac {\, E^2}...
...}\, \right) \ = \ \displaystyle\frac {l\, (\, l\, +\, 1\, )}{r^2}\quad \quad $}$](IMG812.GIF) |
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(10.64) |
Da der Spin
einer Orientierungsquant des nichtpunktförmigen Teilchens
darstellt, setzen wir
ein und stellen die Gleichung nach
um, so gilt:
![$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}p^2 \ = \, k^2 \, (\displaystyle\frac {\hbar}{r})^2 \qquad \mbox{mit} \quad k=\sqrt{l(\, l + 1\, )\, }\quad \ $}$](IMG814.GIF) |
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(10.65) |
oder auch
![$\displaystyle \fbox{$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\displaystyle\frac {\, E\, }{c})^2 \...
... \, \displaystyle\frac {\hbar^2}{r^2} \ + \ (\, m^2_0 \, c^2\, ) \quad \quad $}$](IMG815.GIF) |
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(10.66) |
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root
1999-07-07