Multiplikation der Vierertensoren

Die Matrix ist ein Gebilde, die in der dualen Physik die Komponenten der Tensoren darstellt. Durch das Vertauschen von Zeilen und Spalten einer Matrix erhalten wir eine neue Matrix, die transponierte Matrix genannt wird. die transponierte Form können wir auch aus der Spiegelung der dreidimensionalen Vektoren gewinnen.

$$(X_{jk})^T = X_{kj}$$ (2.14)

Allgemein können wir sagen: zu jeder Matrix existiert eine transponierte Matrix, so daß ihr Eigenprodukt oder ihr Quadrat wiederum eine skalare bzw. invariante Matrix ergibt. Das Resultat des Produkts zweier unterschiedlicher Matrixen ist eine Zusammensetzung der Komponenten einer neuen Matrix bestehend aus dem skalaren Produkt der Vierervektoren und dem Vierervektorprodukt (die Vektorverschiebungen und das Vektorprodukt). das letztere erweist sich im allgemeinen als unvertauschbar. Folglich ist das Produkt zweier Vierertensoren nicht Kommutativ. Mit anderen Worten: das Produkt zweier Vierertensoren ist von ihrer Reihenfolge abhängig.

$$U_{jk} \ . \ X_{kj} \not= X_{kj} \ . \ U_{jk}$$ (2.15)

Nach dieser Definition bilden wir nun das erste Tensorprodukt und ermitteln das Quadrat des Tensors $R_{jk}$ . Das Ergebnis dieses Produkts wie schon oben angedeutet, ist ein skalares Tensor. Die skalaren Vierertensoren werden durch die Buchstaben mit der oberen und unteren Indizes gekennzeichnet (gemischte Darstellung), denen eine besondere Bedeutung beigemessen wird. $\delta_j^k$ ist ein antisymetrischer Tensor d.h. bei Vertauschen des oberen und unteren Indizes ändert er sein Vorzeichen.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ R_{jk} \ . \ R_{kj} = \delta_j^k \ . \ (R_j)^2 \ \ , \ \ \delta_j^k = die \ \ Einheitstensor \ $}$$ (2.16)

$$\fbox {$ \ wobei \ \ {\delta}_j^k = \left\{ \begin{array}{r@{\quad : \quad}l} 0 & j\not= k \\ 1 & j = k \end{array} \right.\ $}$$ (2.17)

Tauscht man die obere und untere Indizes in (2.17), so findet man:

$$\fbox {$ {\delta}_k^j = \left\{ \begin{array}{r@{\quad : \quad}l} 0 & j\not= k \\ -1 & j = k \end{array} \right.\ $}$$ (2.18)

Die Matrixschreibweise des Tensorquadrats lautet:

$$(R_{jk}).(R_{kj}) = {\left( \begin{array}{llcl}ir & X & Y & Z \\ ... ...\ X & ir & -Z & Y \\ Y & Z & ir & -X \\ Z & -Y & X & ir \end{array} \right)}$$ (2.19)

Nach (2.16) lassen sich das Produkt zweier Vierertensoren auf das Produkt zweier Vierervektoren zurückführen. So lassen sich die Vierertensoren quadrieren; das Quadrat eines Vierertensors wird auf das Quadrat eines Vierervektors zurückgeführt. Für das Quadrat eines Vierervektors der Impulstheorie erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ (R_j)^2 = R^2 \ - \ c^2T^2 \ $}$$ (2.20)

Analog zu (2.16),.., (2.19) finden wir für die Energietheorie

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ x^{jk} \ . \ x^{kj} = {\delta}_j^k... ...j)^2 \ \ , \ \ {\delta}_j^k = die \ \ Einheitstensor \index{Einheitstensor}\ $}$$ (2.21)

$$\fbox {$ \ wobei \ \ {\delta}_j^k = \left\{ \begin{array}{r@{\quad : \quad}l} 0 & j\not= k \\ 1 & j = k \end{array} \right.\ $}$$ (2.22)

Beim Vertauschen der oberen und unteren Indizes in (2.22) findet man:

$$\fbox {$ {\delta}_k^j = \left\{ \begin{array}{r@{\quad : \quad}l} 0 & j\not= k \\ -1 & j = k \end{array} \right.\ $}$$ (2.23)

Die Matrixdarstellung des Tensorquadrats der Energietheorie lautet:

$$(x^{jk}).(x^{kj}) = {\left( \begin{array}{llcl}ct & ix & iy & iz ... ...t & -iz & iy \\ iy & iz & ct & -ix \\ iz & -iy & ix & ct \end{array} \right)}$$ (2.24)

Analog zu (2.20) in der Impulstheorie ist das Quadrat des Viererortsvektors der Energietheorie:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ (x^j)^2 = c^2t^2 \ - \ r^2 \ $}$$ (2.25)