Viererimpuls des gebundenen ET-Teilchens

Der Viererimpuls des gebundenen Teilchens der ET läßt sich aus der Addition des mechanischen und elektromagnetischen Viererimpulses der ET gewinnen. Unter der Berücksichtigung von

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\psi = \ \psi_0 \ {\bf exp} \left\{ ... ...tyle\frac {\, \varepsilon\, }{c})\, ct + \vec{r} . \vec{p} }{\hbar} \right\} $}$$ (13.1)

und

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}e_m = e^- \ R_V \quad , \quad \vec{p... ...aystyle\frac {V^-_{(r)}}{c} \quad , \quad \psi\, . \, (\psi^*) = \, \psi^2_0 $}$$ (13.2)

erhält man die Differentialgleichung des gebundenen Teilchens:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, (-\hbar\displaystyle\frac ... ... (\psi)^* \psi \ = \ \left( \, P \ , \ i\vec{p} \, \right) (\psi^*) \psi \ $}\$$ (13.3)

Nach eliminieren der zeitlichen Gradienten mit $(\psi)^*$ erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, (\displaystyle\frac {\, E\... ... grad} - \vec{p}_m) \, \right) \ = \ \left( \, P \ , \ i\vec{p} \, \right) \ $}$$ (13.4)

Offenbar ist das zweifache Tensorprodukt

$$(V^{jk} \, . \, V^{jk}) \, . \, (V^{kj} \, . \, V^{kj}) \ = \ \delta_j^k$$ (13.5)

gleich dem Einheitstensor. Die Klammerausdrücke bilden neue Vierertensoren, die bei der Problemstellung diskreter Zustände ihre Anwendung finden. Bilden wir das äquivalente Tensorprodukt mit der Beziehung (13.4), so finden wir für seine linke Seite:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, (\displaystyle\frac {\, E\... ... \displaystyle\frac {V^-_{(r)}}{c}) (\hbar{\sf grad} - \vec{p}_m)\,\right) \ $}$$ (13.6)

äquivalente Komponente finden wir für die rechte Seite von (13.4):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( (\, p^2 \ + \ P^2 \, ) \ , \ \ (\, i2\, P\, \vec{p}\, )\right) \quad $}$$ (13.7)

Aus dem Vergleich der Gleichungen in (13.6) und (13.7) schließen wir auf die skalare

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, (\displaystyle\frac {\, E\... ... \ (\hbar{\sf grad} - \vec{p}_m)^2\right) \ = \ (\, p^2 \ + \ P^2 \, ) \quad $}$$ (13.8)

und Vektorkomponenten

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, i2\, P\, \vec{p}\, \right)... ...displaystyle\frac {V^-_{(r)}}{c}) (\hbar{\bf grad} - \vec{p}_m)\right) \quad $}$$ (13.9)

Wir interessieren uns für die skalare Komponetene dieses Tensorprodukts. Addieren wir auf beide Seiten von (13.8) $(-P^2_0)$ hinzu, so können wir mit $P^2=P^2_0+p^2$ die rechte Seite in $2\, p^2$ umschreiben. Anschließend multiplizieren wir beiden Seiten der Gleichung mit $\psi$, so erhalten wir die Wellengleichung:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, (\hbar{\sf grad} - \vec{p}_... ...le\frac {V^-_{(r)}}{c})^2 \ - \ P^2_0 \, \right)\, \psi \ = \ 2\, p^2\, \psi $}$$ (13.10)

Für den stationären Zustand der Wellengleichung, also das Verschwinden aller zeitabhängigen Glieder $\vec{p}_m=0$ erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, (\hbar{\sf grad} )^2 \ + \ ... ...2 \ - \ P^2_0 \, \right)\, \psi \ = \ 2\, p^2_{(r,\vartheta,\varphi)}\, \psi $}$$ (13.11)