Viererimpuls des gebundenen IT-Teilchens

Der Viererimpuls des gebundenen Teilchens läßt sich aus der Addition des mechanischen und elektromagnetischen Viererimpulses der IT gewinnen. Unter der Berücksichtigung von

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Psi = \Psi_0 \, {\bf exp} \left\{ \... ...ystyle\frac {\, \varepsilon\, }{c}) cT + \vec{P} . \vec{R} }{\hbar} \right\} $}$$ (12.1)

und

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}e_m = e^- \ R_V \quad , \quad \vec{P... ...c{A}^+}{c}\quad , \quad e_m \phi^- = \displaystyle\frac {v^-_{(R)}}{c} \quad $}$$ (12.2)

erhält man die Differentialgleichung des gebundenen Teilchens:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, i(-\hbar\displaystyle\frac... ...ight) \Psi^* \Psi \ = \ \left( \, ip \ , \ \vec{P}\, \right) \Psi^* \Psi \ $}\$$ (12.3)

Nach eliminieren der zeitlichen Gradienten mit $\Psi^*$ erhahten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, i(\displaystyle\frac {\, \... ...f grad} - \vec{P}_m) \, \right) \ = \ \left( \, ip \ , \ \vec{P}\, \right) \ $}$$ (12.4)

Offenbar ist das zweifache Tensorprodukt

$$(U_{jk} . U_{jk}) . (U_{kj} . U_{kj}) \ = \ \delta_j^k$$ (12.5)

gleich dem Einheitstensor. Die Klammerausdrücke bilden neue Vierertensoren, die bei der Problemstellung diskreter Zustände ihre Anwendung finden. Bilden wir das äquivalente Tensorprodukt mit der Beziehung (12.4), so finden wir für seine linke Seite:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, (\displaystyle\frac {\, \v... ... \displaystyle\frac {v^-_{(R)}}{c}) (\hbar{\bf grad} - \vec{P}_m)\,\right) \ $}$$ (12.6)

äquivalente Komponente finden wir für die rechte Seite von (11.4):

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( (\, p^2 \ + \ P^2 \, ) \ , \ \ (\, i2\, p\, \vec{P}\, )\right) \quad $}$$ (12.7)

Aus dem Vergleich der Gleichungen in (12.6) und (12.7) schließen wir auf die skalare

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, (\displaystyle\frac {\, \v... ... \ (\hbar{\bf grad} - \vec{P}_m)^2\right) \ = \ (\, p^2 \ + \ P^2 \, ) \quad $}$$ (12.8)

und Vektorkomponenten

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, i2\, p\, \vec{P}\, \right)... ...displaystyle\frac {v^-_{(R)}}{c}) (\hbar{\bf grad} - \vec{P}_m)\right) \quad $}$$ (12.9)

Wir intressieren uns für die skalare Komponetene dieses Tensorprodukts. Addieren wir auf beiden Seiten von (12.8) $P^2_0$ hinzu, so können wir mit $P^2=P^2_0+p^2$ die rechte Seite in $2\, P^2$ umschreiben. Anschließend multiplizieren wir beiden Seiten der Gleichung mit $\Psi$, so erhalten wir die Wellengleichung:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, (\hbar{\bf grad} - \vec{P}_... ...le\frac {v^-_{(R)}}{c})^2 \ + \ P^2_0 \, \right)\, \Psi \ = \ 2\, P^2\, \Psi $}$$ (12.10)

Für den stationären Zustand der Wellengleichung, also das Verschwinden aller Zeitabhängigen Glieder $\vec{P}_m=0$ erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, (\hbar{\bf grad} )^2 \ + \ ... ...c {v^-_{(R)}}{c})^2 \ + \ P^2_0 \, \right)\, \Psi \ = \ 2\, P^2_{(R)}\, \Psi $}$$ (12.11)

Für die reelllen Eigenwerte dieser Beziehung finden wir die Gleichung des Spinors, die wir im vorigen Abschnitt abgeleitet und behandelt haben. Wir erhalten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\, \hbar^2 \, {\bf grad}^2 \, + \, ... ...repsilon\, }{c}\, )^2 \ + \ P_0^2\, )\, )\, \Psi \ = \ 2\, P^2 \, \Psi \quad $}$$ (12.12)

übereinstimmend mit (9.2). Mit $(\displaystyle\frac {\, \varepsilon\, }{c})^2+P_0^2=P^2$ lauten seine Eigenwerte:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P^2= \, (\, l\, + \, s\, )^2 \ (\displaystyle\frac {\hbar}{R})^2 \quad $}$$ (12.13)

Mit diesem Ergebnis schließen wir die Eigenwertbehandlung der IT und befassen wir uns mit der Eigenwertproblematik der ET.