Der Spinor in der IT

Wir ermitteln nun die Eigenwerte von $P^2 = (\displaystyle\frac {\, \varepsilon\, }{c})^2 + P_0^2$ in der Differentialgleichung (9.3). Zuerst separieren wir die Funktion $\Psi$

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Psi \ = \ \Psi_0 \ {\bf exp} \left\... ...eft\{ -\displaystyle\frac {\, P_{(\phi)}R\, sin(\theta)\phi }{\hbar}\right\} $}$$ (9.38)

und setzen

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Psi \ = \ R_{(R)} \ . \ \Theta_{(\theta)} \ . \ \Phi_{(\phi)} \qquad $}$$ (9.39)

Wir schreiben für den periodischen Exponent von $\Phi_{(\phi)}$

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P_(\phi) \, R\, sin(\theta) \ = \ m\, \hbar \quad \quad $}$$ (9.40)

für $\Theta_{(\theta)}$

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P_{(\theta)} \, R \, \ = \ s \, \hbar \quad \quad $}$$ (9.41)

Wobei $m=0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, ...$ ganze Zahl und $s=\pm \displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }$ ist. Der radiale Anteil der Wellengleichung ist unabhängig von den $m$ Werten. Für die Funktionen in (9.39) $\Theta_{(\theta)}, \Phi_{(\phi)}$ erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}%R_{(R)} = \ \Psi_0 \, {\bf exp}\lef... ... \mbox{und} \ \Theta_{(\theta)} = \ {\bf exp}\left\{ -s\, \theta \right\} \ $}$$ (9.42)

Die rechte Seite von (9.3) lautet in Kugelkoordinaten und beim konstanten Radius:

$$P^2_{(\theta,\phi)} \ = \ \displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }(P^2_{(... ...) \, + \, \displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }(P^2_{(\theta)}) \, + \, P^2_{(\phi)}$$ (9.43)

Aus (9.37) erkennt man, daß $\theta$ Term aus zwei Gliedern besteht. Jedem Glied steht im günstisten Fall $$\frac {1}{\, 2 \, }(P^2_{(\theta)})$$ Wert der rechten Seite von (9.3) zu. Für die Auswahl der rechten Seite sind die Glieder der zweiten Ordnung $\partial^2_\theta$ sowie $\partial^2_\phi$ entscheidend. Folglich wird der $P^2_{(\theta)}$ Anteil halb so groß wie der $P^2_{(\phi)}$ Wert sein.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P^2_{(\theta)}= \, (\, \displaystyle\frac {s^2}{2}\, ) \, \displaystyle\frac {\hbar^2}{R^2}\quad $}\quad$$ (9.44)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P^2_{(\phi)}= \, (\, m^2\, )\, \displaystyle\frac {\hbar^2}{R^2\, sin(\theta)^2}\quad $}$$ (9.45)

Da wir uns für die Eigenwerte des Eigendrehimpulses interessieren, ist der radiale Anteil der Wellengleichung (9.37) gleich Null zu setzen $(R=Konstanz)$. Mit $(\displaystyle\frac {\, E\, }{c})^2=P^2$ und (9.37) schreiben wir (9.3) um und erhalten wir die Differentialgleichung der Kugelfunktionen:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar^2 \displaystyle\frac {1}{sin(\... ...ial}{\partial \phi})^2 \Psi + P^2\Psi = 2\, (P_{(\theta,\phi)})^2 \Psi \quad $}$$ (9.46)

Da $\phi$ in (9.46) nicht explizite vorkommt, kann man den $\phi$ abhängigen Differentialterm integrieren. Die $P^2_{(\phi)}$ Komponente rechnen wir mit Hilfe von (9.40) um und bringen sie schließlich auf die linke Seite

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\hbar^2 \displaystyle\frac {1}{sin(\... ...le\frac {m^2}{R^2\, sin(\theta)^2}\, ) \Theta \ = \ 2 \, (P_\theta)^2 \Theta $}$$ (9.47)

Der Eigenwert dieser Differentialgleichung hat für $P_{(\theta)}\not=0$ einen optimalen Wert. $P_{(\theta)}$ findet man äquivalent zu $P_{(\phi)}$ aus der Beziehung:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}2\, (P_\theta)^2 \ = \ s^2\, \displaystyle\frac {\hbar^2}{\, R^2\, } \quad \quad $}$$ (9.48)

Setezn wir (9.48) in der linken Seite von (9.47) ein und multiplizieren wir dieser Gleichung mit $$\frac {1}{\hbar^2}$$, so können wir für seinen Eigenwert $\Lambda$ schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \displaystyle\frac {\, P^2}{\... ...rac {s^2}{R^2}\, \right) \ = \ \displaystyle\frac {\Lambda}{R^2} \quad \quad $}$$ (9.49)

und damit geht (9.47) über in

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\displaystyle\frac {1}{sin(\theta)}\... ...\ - \ \displaystyle\frac {m^2}{R^2\, sin(\theta)^2}\, ) \Theta \ = \ 0 \quad $}$$ (9.50)

Wir führen $\chi$ als unabhängige Variable ein und betrachten $\Theta$ als Funktion von $\chi$

$$\Theta_{(\theta)}= \Theta_{(\chi)}\quad \mbox{und} \quad \chi=\, cos(\theta) \ , \ d\chi=-sin(\theta)\, d\theta\quad \ , \ -1\leq\chi\leq +1$$ (9.51)

dann wird aus (9.50)

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(1\, - \, \chi^2)\Theta'' \, - \, 2\... ...\, \displaystyle\frac {m^2}{(1\, - \, \chi^2)}\, \right)\Theta \ = \ 0 \quad $}$$ (9.52)

Wir untersuchen nun das Verhalten der Lösung von $\Theta$ in der Nähe der singulären Punkte$\chi = \pm 1$. Wir führen die neuen Variabeln $Z=\chi+1$ und $Z=\chi-1$ ein und wenden uns zuerst dem Punkt $\chi=+1$ zu und erhalten:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Theta''\, + \, \displaystyle\frac {... ...\, + \, \displaystyle\frac {m^2}{(Z)^2\, (2+Z)^2}\, \right)\, \Theta \ = \ 0 $}$$ (9.53)

Zur Lösung dieser Differentialgleichung setzen wir $\Theta$ in Form einer Potenzreihe ein. Wobei sich $\Theta$ partial aus $Z^{\alpha}$ und die Reihe $V$ zusammensetzt.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Theta= \, (\, Z^{\alpha} \, )\, V \ \ \ , \ V= A_0+A_1\, Z+A_2\, Z^2+...+A_\nu\, Z^\nu +..\ $}$$ (9.54)

Bei der Bestimmung der charkteristischen Gleichung geht die Potenzreihe $V=V_0$ in den Berechnungen ein $(Z \to 0)$. Tragen wir (9.54) in der linken Seite von (9.53) ein und bilden den Faktor von $Z^{\alpha-2}$, so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left( \, \alpha(\alpha\, - \, 1) \, + \, \alpha \, - \, \displaystyle\frac {m^2}{4}\, \right) \, A_0 \ = \ 0 \quad $}$$ (9.55)

Für $\alpha$ erhalten wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\alpha = \ \pm \displaystyle\frac {m}{2} \quad\quad\quad $}$$ (9.56)

Den gleichen Wert für $\alpha$ erhält man, falls man sich dem zweiten singulären Punkt $\chi=-1$ zuwendet. Da die Lösung unseres Problems endlich sein soll, wählen wir das positive Vorzeichen $\alpha = \, +\displaystyle\frac {m}{2}$. Nun können wir (9.54) wie folgt darstellen:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Theta= \, (\, 1\, - \, \chi^2\, )^{\displaystyle\frac {m}{2}} \, \ V \quad $}$$ (9.57)

wobei $V$ jetzt zweckmäßigerweise eine Potenzreihe von $\chi$ und nicht mehr von $Z$ zu nehmen ist.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}V \, = \, \sum\limits_{\nu = 0}^{\infty}\, A_\nu \, \chi^\nu \quad \quad \quad $}$$ (9.58)

Setzen wir (9.57) in (9.52) ein, so finden wir:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(1\, -\, \chi^2)\, V'' \, - \, 2(m\, + \, 1)\, \chi\, V' \, + \, (\Lambda \, - \, m \, - \, m^2)\, V \ = \ 0 \quad $}$$ (9.59)

Die Integration dieser Gleichung erfolgt mittels Potenzreihe (9.58). Nach Eintragen in die Differentialgleichung erhalten wir die Rekursionsformel zur Bestimmung der Koeffizienten $A_\nu$.

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}((\nu\, + \, 2)\, (\nu\, + \, 1))\ A... ..., + \, 2(m \, + \, 1)\, \nu \, - \, \Lambda\, + \, m \, + \, m^2\, )\, A_\nu $}$$ (9.60)

Die Reihe (9.58) wird für $\nu=k$ ein Polynom k-ten Grades und somit verschwinden alle Koeffizienten von $A_{k+1}$, $A_{k+2}$. Die Reihe kann nur dann abbrechen, falls

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ (\, k \, (k \, - \, 1)\, + \, 2(m \, + \, 1)\, k \, - \, \Lambda\, + \, m \, + \, m^2\, )\, A_k \ = \ 0 \quad $}$$ (9.61)

gesetzt wird. Daraus folgt:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ \Lambda \ = \ (\, k \, + \, m\, )\, (\, k \, + \, m \, + \, 1\, )\, \quad $}$$ (9.62)

setzen wir für $k+m=l$ ein, so finden wir für $\Lambda$:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\Lambda \ = \ l\, (\, l\, + \, 1\, ) \quad \quad \quad $}$$ (9.63)

Nun können wir für (9.49) schreiben:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\left(\, \displaystyle\frac {\, P^2}... ...}\, \right) \ = \ \displaystyle\frac {l\, (\, l\, +\, 1\, )}{R^2}\quad \quad $}$$ (9.64)

Setzen wir für $s=\pm \displaystyle\frac {1}{\, 2 \, }$ ein und stellen die Gleichung nach $P^2$ um, so gilt für positiven Spin:

$$\fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}P^2_{(R,l,s)} \ = \ (\,l \, + \, \di... ...r^2}{R^2}) \ \quad \mbox{mit} \quad \vec{J}\, = \, \vec{L} \, + \, \vec{S} \ $}$$ (9.65)

oder auch

$$\fbox{$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}(\displaystyle\frac {\, \varepsilon\,... ... \, \displaystyle\frac {\hbar^2}{R^2} \ - \ (\, m^2_0 \, c^2\, ) \quad \quad $}$$ (9.66)