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Partielle Differentiale 1. Ordnung (ET)

Analog zu der Impulstheorie bildet der Vierergradient die Komponenten der Tensorgradienten.

$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ \displaystyle\frac {\partial}{\par...
...e\frac {\partial}{\partial y}, \displaystyle\frac {\partial}{\partial z})) \ $}$     (2.61)

Aus Bequemlichkeitsgründen führen wir für die partielle Ableitungen nach den Koordinaten die Abkürzung

$\displaystyle {\partial}^j = \displaystyle\frac {\partial}{\partial x^j}$     (2.62)

ein. Analog lässt sich die Matrix des Vierergradiententensors der Energieheorie darstellen:

$\displaystyle {\partial}^{jk} = \left( \begin{array}{llcl}i\displaystyle\frac {...
...l}{\partial x}& i\displaystyle\frac {\partial}{c \partial t}\end{array} \right)$      

Analog zur IT können wir für eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung wie die linke Seite vom Viererimpuls schreiben :

$\displaystyle -\hbar (\partial^{j} \psi^*) \ = \ P^k$      

Analog zu der IT können wir hier schreiben:

$\displaystyle \fbox {$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\psi\
= \ \psi_0 \ e^{{\displaystyl...
...ystyle ( \displaystyle\frac {P\, ct \ - \ \vec{p} . \vec{r}
}{\hbar} )}} \ \ $}$     (2.63)

Die Funktion $\psi$ wird als die reelle Wellenfunktion bezeichnet. Aus Analogie zu der Impulstheorie wird die Aussage unterstrichen, daß die Differential eines Vierertensors ein Vierertensor ist. Die erste partielle Ableitungen eines beliebigen Vierertensors $a^{jk}$ ist dann invariant, wenn sie mit dem Vierertensor der Vierergeschwindigkeit der Energietheorie multipliziert wird.

$\displaystyle \fbox{$\rule[-4mm]{0cm}{1cm}\ d a^{jk} = ( \displaystyle\frac {\p...
...partial x^{jk}}a^{jk} ) \ d x^{jk} = ( \acute a^{jk} \ V^{jk} ) \ {ds}_j^k \ $}$     (2.64)


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1999-07-07